精品解析：山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题（解析版）.docxVIP

2023—2024学年青岛五十八中第一学期月考检测

高二数学试题（2023年9月）

考试时间：120分钟，满分：150分

说明：

1.命题范围：空间向量、立体几何

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的一个方向向量为，点为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先求出，再结合已知条件利用距离公式求解即可.

【详解】因为直线的一个方向向量为，，

所以点到直线的距离为

，

故选：C

2.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．

【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，

为的重心，可得，

而，

，

所以，，

所以，，因此，．

故选：C

3.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解.

【详解】设，则二面角的大小为，

由题意，，则，

所以，

即，得，所以，

即二面角的大小为.

故选：C.

4.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量.

【详解】∵平面,，

∴,,

故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.

则，

则，

∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为.

故选：C.

5.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量运算得，，再求即可.

【详解】由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形为边长为1的菱形，又≌，所以，故四边形为正方形，同理四边形也为正方形．

取的中点，连接，则，

同理，

．

故选：A．

6.在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案．

【详解】设与所成角为，

如图所示，不妨设，

则，，，，

，，．

设，

则，．

所以，

当时，，此时与所成角为，

当时，，

此时，当且仅当时等号成立，

因为在上单调递减，所以，

综上，．

故选：B．

7.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出图形，，，，平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要解决三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来即可求解.

【详解】

由题意得：.

==，

=

当时，的最大值为

故选：C

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）

A. B.1 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面和平面的法向量，即可求平面和平面夹角的余弦值，进而可求解.

【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，

平面和平面为有公共顶点的两个正三角形所在平面，

建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则

设平面的法向量为

所以，令，所