2025高考数学必刷题 第50讲、外接球、内切球、棱切球（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲外接球、内切球、棱切球

50

知识梳理

知识点一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

PA

（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a，如图3所示．

2

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

知识点二：正四面体外接球

2

如图，设正四面体ABCD的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，

aa

2

236

显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为Raa，即正四

224

6

面体外接球半径为Ra．

4

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱

ABCDABCDmACBDnADBCt

相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

1

2025高考数学必刷题

222

bcm

222

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则acn，三式相加可得

222

abt

222

222mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则

abc,R

2