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立体几何初步
一、选择题
1．如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，当，，，时，则四面体外接球的半径为()
A. B. C. D.
2．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形,如图所示.其中,则原平面图形的面积为()
A. B. C. D.
3．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为()
A. B. C. D.
4．若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为()
A.3 B. C. D.
5．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,高为3,且该圆台的体积为,则该圆台的母线长为()
A. B. C. D.
6．已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为()
A.3 B. C. D.
7．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,则球O的表面积为()
A. B. C. D.
8．如图,正三柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱,一小虫从点A途经三个侧面爬到点,则小虫爬行的最短距离为()
A.4 B.5 C. D.
二、多项选择题
9．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有()
A.直径为的球体
B.所有棱长均为的四面体
C.底面直径为，高为的圆柱体
D.底面直径为，高为的圆柱体
10．已知点A,B为不同的两点,直线,,为不同的三条直线,平面,为不同的两个平面,则下列说法正确的是()
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,,则直线
11．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是()
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题
12．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）,多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在每个顶点的曲率为,故其总曲率为.我们把平面四边形外的点P连接顶点A、B、C、D构成的几何体称为四棱锥,根据曲率的定义,四棱锥的总曲率为_________.
13．在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则___________.
14．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，则该几何体的体积为______.
四、解答题
15．日常生活中,较多产品的包装盒呈正四棱柱状,烘焙店的包装盒如图所示,正四棱柱的底面ABCD是正方形,且,.
店员认为在彩绳扎紧的情况下,按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为_______________.
16．如图所示,在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆,使之恰好围成一个圆锥,则圆锥的高为_____________.
17．如图①,在菱形中,且,E为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证：平面
18．设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,,平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中,底面为菱形,且.
（1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和;
（2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x,直四棱柱体积为,求函数的解析式及单调区间.
19．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为的中点.
（1）证明:平面;
（2）在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,指出点位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，设平面与平面的夹角为，
，，
，，
，
，
，即，
，即平面与平面的夹角为.
过D作的平行线，过A作的平行线，与所成的角为，过B作的平行线，连接，，，
四面体的外接球与三棱柱的外接球相同，
在中，，，
外接圆半径为，
四面体外接球的半径为.
故选：A.
2．答案：C
解析：由直角梯形中,且,作于P,
则四边形为正方形,为等腰直角三角形,故,.
故原图为直角梯形,且上底,高,下底.
其面积为.
故选：C.
3．答案：B
解析：圆台的侧面展开图是个扇环，，
所以圆台的高，
则，
故选：B.
4．答案：C
解析：如图,正三棱锥,,
取BC中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,
由正四面体的性质可知,顶点与底面中心连线垂直底面,
平面ABC
即三棱锥的高为PO,
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