2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量 与立体几何.docx

空间向量与立体几何

一、选择题

1．若空间中有三点,,,则点到平面ABC的距离为()

A. B. C. D.

2．若是空间中的一组基底,则下列可与向量,构成基底的向量是()

A. B. C. D.

3．如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为()

A. B. C. D.

4．已知为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是()

A.,, B.,,

C.,, D.,,

5．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是()

A. B. C. D.

6．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足.若，，，则()

A. B. C. D.

二、多项选择题

7．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的值可以为()

A. B. C. D.

8．如图,四棱柱中,M为的中点,Q为上靠近点的五等分点,则()

A. B.

C. D.

三、填空题

9．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(A，B，C，，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.

10．直线l的方向向量为,且l过点,则点到直线l的距离为________.

11．在空间直角坐标系中已知，CD为三角形ABC边AB上的高，则_____．

四、解答题

12．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.

（1）求证：存在点N，使得.

（2）求二面角的正弦值.

13．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCDE为AD上一点，.

(1)求AB的长；

(2)若E为AD的中点，求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值；

(3)若M为PB上一点，且满足，求.

参考答案

1．答案：D

解析：,,,

设平面ABC的一个法向量为,

由得,令得,,

所以,

则点到平面ABC的距离为.

故选:D.

2．答案：B

解析：由是空间中的一组基底,故,,两两不共线,

对A:有,故A错误;

对B:设,则有,

该方程无解,故可与构成基底,故B正确;

对C:有,故C错误;

对D:有,故D错误.

故选:B.

3．答案：B

解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，.

设平面AMN的法向量为，

由于，，则

即

令，解得，，于是，

同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，

设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.

4．答案：C

解析：,A错误.,B错误.易得,,三个向量不共面,C正确.,D错误.

5．答案：B

解析：

因为，且是直角三角形，

所以.以B为原点，

分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，

所以，，，，

则，.故点F到直线AC的距离.

故点F到直线AC的距离是.

6．答案：C

解析：由题意知

.

故选C.

7．答案：BD

解析：以点为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设，其中，

则，

，

所以，，

因为，则，所以，，

所以，，

故选：BD.

8．答案：BD

解析：,

即,故A错误、B正确;

,

即,故C错误,D正确.

故选:BD.

9．答案：

解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(A，B，C，，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.

10．答案：

解析：,点P到直线l的距离为.

故答案为:.

11．答案：3

解析：，，则，

，

所以，

故答案为：3

12．答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，

又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.

又，平面，平面PBC，所以平面PBC.

又，平面ADM，

所以平面平面PBC.

又平面AMD，所以平面PBC，

所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，使.

（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为四边形ABCD是菱形，，所以，

又，，平面ABCD，

所以，，，，.

设平面AMP的法向量为.

则有

即

取，则.

设平面MPC的法向量为，

则有

即取，则.

则，

所以二面角的正弦值为.

13．答案：(1)2；