2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量与立体几何.docxVIP

空间向量与立体几何

一、选择题

1．()

A. B. C. D.

2．正三棱锥的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦值为()

A. B. C. D.

3．在四棱柱中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD.已知,,E为线段AB上一个动点,则的最小值为()

A. B. C. D.

4．已知,,则在方向上的投影数量为()

A. B. C. D.

5．如图,已知正四棱锥的所有棱长均为1,E为PC的中点,则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为()

A. B. C. D.

6．已知空间向量,,则以为单位正交基底时的坐标为()

A. B. C. D.

7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，,，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为()

A. B. C. D.

8．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点C到直线的距离为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为()

A. B. C. D.

10．以下关于向量的说法正确的有()

A.若，则

B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

C.若且，则

D.若与共线，与共线，则与共线

11．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则()

A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为

C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为

三、填空题

12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为________.

13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.

14．已知直线l的一个方向向量为,若点为直线l外一点,为直线l上一点,则点P到直线l的距离为________.

四、解答题

15．如图，在棱长4的正方体中，E是的中点，点F在棱上，且.

(1)求平面与平面夹角的余弦值；

(2)若P为平面内一点，且平面，求点P到平面的距离.

16．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.

(1)点E在侧棱上，且平面，确定E在侧棱上的位置；

(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.

17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.

18．已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式：

(1);

(2);

(3).

19．已知，，.求：

(1)；

(2).

参考答案

1．答案：D

解析：,

,

,

,

故选:D

2．答案：C

解析：因为正三棱锥的侧面都是直角三角形,

所以可以以P为原点,PA,PB,PC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设,

因为E,F分别是AB,BC的中点,

所以,,,,,,

,,,

设平面PEF的法向量为,

则有,

所以PB与平面PEF所成角的正弦值为:,

故选:C

3．答案：B

解析：建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,.

E为线段AB上一个动点,

设,

则,,

故问题转化为求的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点到两定点,的距离之和的最小值的问题,如图所示.

由此可知,当M,P,N三点共线时,,

故选:B.

4．答案：C

解析：在方向上的投影数量为.

故选：C.

5．答案：D

解析：连接,,记直线,的交点为O,

由已知平面,,

以点O为原点,,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

由已知,,

所以,,,

则,,,,,

所以,,,

设,

则,

所以在上的投影向量的模为,

又,

所以动点M到直线BE的距离,

所以,

所以当时,动点M到直线BE的距离最小,最小值为,

故选：D.

方法二：因为为等边三角形,E为的中点,所以,

由已知,,,所以,

所以,

所以为异面直线,的公垂线段,

所以的长为动点M到直线BE的距离最小值,

所以动点M到直线BE的距离最小值为,

故选：D.

6．答案：B

解析：空间向量,,则,

故以为单位正交基底时的坐标为.

故选:B.

7．答案：A

解析：连接交于点O，

由题意，得，，

，

如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,，

所以,,，设，

所以，

设平面的一个法向量为，则，

所以，取，

则，

设顶点B到平面距离为d，

则，

当时，

当时，，

所以当即时点B到平面距离最大为.

故选：A.

8．答案：C

解析：取AC的中点O,

则,,

以OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,O与中点连线所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

所以