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高中数学

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《函数的零点》课标解读

教材分析

本节的主要内容一是函数的零点，函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因在于函数与其他知识有广泛的联系，函数的零点就是一个链接点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起，方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，为后面学习函数与不等式等其他知识的联系奠定基础；二是用二分法求方程的近似解，体现了函数的实际应用性，以零点存在为理论基础，用区间逼近的方式求出方程的近似解，这就是二分法，是一次思想方法上的突破，它把函数、不等式、方程等高中的重要内容有机地联系起来了.

本节的重点是函数零点的定义与存在性的判断，难点是用二分法求方程的近似解.突破重点与难点的关键是首先要理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合函数图象的直观意义去理解.

本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等.

学情分析

对学生而言，前面已经学习了基本初等函数及其性质，具备初步的数形结合的能力，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的.

学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是零点所在区间的判断，这个困难主要是发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中连续曲线的理解；二是利用二分法求方程的近似解，其主要原因是求近似解对他们是一个全新的问题，计算能力和准确表述解答过程的能力也需要进一步训练和提高.

教学建议

函数的零点是高中数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数的值为0的实数x；从方程的角度看，即为对应方程的实数根；从函数的图象角度看，函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机地联系在一起，体现的是函数知识的应用.

在缩小区间、逼近零点的过程中，让学生体验无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一，在解决实际问题中体现了二分法的工具性、应用性通过本节内容的教学，向学生渗透函数与方程的思想、近似思想、逼近思想和初步感受程序化处理问题的算法思想.

在内容处理上，教材中只表述了零点存在的条件，对零点的个数并未作说明，在探究过程中，应引导学生探究出函数在某区间只存在一个零点的条件就是函数在这个区间上具有单调性，这样处理体现了逻辑推理的数学核心素养.

教学时，要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并要引导学生用数学语言表达出来，这往往是形成数学概念，培养学生探究能力的契机，体现了数学抽象的数学核心素养.

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生画出函数图象，给学生留有更多的时间用于探究函数的零点、用二分法求方程的近似解等知识点.

学科核心素养

目标与素养

1.结合实例，理解函数零点的定义，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

2.结合零点定义的探究，掌握方程的根与其对应函数零点之间的等价关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数零点所在区间的方法，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.

情境与问题

本案例通过回顾二次函数零点的定义以及求一个具体的二次函数的零点，激发学生的学习兴趣，为研究函数的零点做好准备，从而自然引入新课的教学.

内容与节点

函数的零点是前面学习的二次函数零点的延伸与拓展，也是后续学习用二分法求方程近似解的基础，因此，在知识结构上起着承上启下的作用.

过程与方法

1.运用由特殊到一般，由具体到抽象，探究函数零点的定义，发展学生的数学抽象核心素养.

2.在把握函数零点定义的同时，体会判断函数零点个数的方法和所在的区间，发展学生的逻辑推理核心素养.

3.在判断函数零点是否存在的过程中，发展学生的数学运算核心素养.

教学重点难点

重点

判断函数零点的存在及其个数的方法.

难点

函数零点存在性的判断，利用函数图象和性质判断函数零点的个数.