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山东省青岛第六十七中学2024-2025学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

2024.10.8

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1.已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为

A.30° B.45° C.60° D.135°

【答案】D

【解析】

【详解】由题可知，直线y＝x＋1的斜率为1，所以有=-1，所以直线l的倾斜角为135°

2.设P是双曲线－＝1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝5，则|PF2|等于()

A.1或5 B.1或9 C.1 D.9

【答案】D

【解析】

【详解】因为双曲线－的一条渐近线方程为由双曲线的定义可得在双曲线的左支上，，故选D.

3.若方程表示圆，则实数的取值范围是

A. B.?∞,1 C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围．

详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以．故选A．

点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆的充要条件为：；

4.若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．

【详解】解：由题意得椭圆的离心率，

所以．

所以．

所以双曲线的离心率．

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

5.已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．

【详解】由题意得，所以，

又直线的方向向量为，则，

所以，

设直线与直线所成的角为，

则，则，

所以点到直线的距离为．

故选：A．

6.设椭圆的两个焦点分别为F1??F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍.

解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率.

【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为，

半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.

在椭圆方程中，令，则，解得，故.

为直角三角形且，故即，

故，解得（负值舍去）

解法二：如图，不妨设,则,,

于是,

,

故选：D.

【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用.

7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）

∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

考点：直线与平面所成的角

8.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.

【详解】设这条弦的两端点，斜率为，

则：

两式相减得：

变形得：，又弦中点为：，故

故这条弦所在得直线方程为：，即

故选：D

【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.对于定点和圆：，下列说法正确的是（）

A.点在圆内部

B.过点有两条圆的切线

C.过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为

D.过点被圆截得的弦长最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出，即可判断A、B，最长弦为过点的直径，最短弦为与最长弦垂直的弦，利用垂径定理、勾股定理计算可得，即可判断C、D；

【详解】解：圆：的圆心为，半径，又，所以，所以在圆内，故A正确；

因为点在圆内，所以过点不能作圆的切线，故B错误；

过点被圆截得的弦