一元函数微分学及其应用(课件).pptx

一元函数微分学及其应用

目录导数的运算2函数的微分3导数的概念14导数的应用

第一节导数的概念一、导数的定义【引例1】设某物体沿直线运动，其运动方程为（1）求物体在这段时间内的平均速度。（2）求物体在时刻的瞬时速度。解（1）物体做匀速运动，且，在这段时间内，物体所经过的路程这段时间内的平均速度为

第一节导数的概念一、导数的定义（2）在时刻附近取一个新的时刻如图3-1所示由（1）可知，物体在这段时间的平均速度为从理论上来说，当时间间隔无限接近于0时，平均速度将无限接近于时刻的瞬时速度。

第一节导数的概念下面取，从0.1开始逐渐趋向于0，则物体在这段时间内的平均速度的部分数值结果如表3-1所示。从表3-1可以看出，时间间隔越小，平均速度越接近于20。时刻的瞬时速度事实上，利用极限思想，物体在可以表示为从表3-1可以看出，时间间隔越小，平均速度越接近于20。

第一节导数的概念定义3.1设函数在点的某个邻域内有定义，且极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作或或或也称函数在点处可导。若极限不存在，则称函数在点处不可导。

第一节导数的概念求函数在点处的导数可归纳为以下3步（1）求函数值改变量：（2）计算比值：（3）求极限：

第一节导数的概念【例1】设函数，求及解（1）求函数值改变量：（2）计算比值：（3）求极限：即，进一步将代入得对于每一个确定的，导数也是唯一确定的，因而这些导数值就构成了关于自变量的一个新函数，称为函数的导函数。

第一节导数的概念定义3.2设函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导。函数在可导区间内的任意点处的导数称为函数的导函数，记作或或或即对于例1，有，更一般的有(为实常数)。

第一节导数的概念【例2】求函数的导数解（1）求函数值改变量：（2）计算比值：（3）求极限：令，可得因为所以更一般的有，

第一节导数的概念【引例2】已知抛物线，和是抛物线上的两点。（1）求过M和N两点的直线（也称为抛物线的割线）方程；（2）求抛物线在点M处的切线方程。解（1）过M和N两点的直线斜率所以直线方程为整理得

第一节导数的概念（2）在点M附近任取一点，则当点沿曲线趋向于点，即时，割线MP的极限即抛物线在点M处的切线，如图3-2所示。因为所以因此抛物线在点M处的切线方程为

第一节导数的概念由引例2可知，光滑曲线在某一点的切线问题是函数值改变量与自变量改变量之比的极限问题，由此可得导数的几何意义为：函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处的切线斜率。若导数存在，则曲线在点处的切线方程为若导数，则曲线在点处的法线（过切点且垂直于切线）方程为

第一节导数的概念在点【例3】求曲线处的切线方程和法线方程。解由于，故曲线在点处的切线斜率为所求的切线方程为法线方程为，即

第一节导数的概念三、可导与连续的关系定理3.1若函数在点处可导，则在该点处连续。注意：函数在点处连续，却不一定在点处可导。【例5】讨论函数在点处的连续性和可导性。解因为，故在点处的连续性。又，从而即，极限不存在。函数在点处的不可导。

1目录导数的概念函数的微分3导数的应用4导数的运算2

第二节导数的运算一、常数和基本初等函