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南京航空航天大学
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二○一三～二○一四学年第一学期《工科数学分析》研讨测试
考试日期：2013年12月日内容：导数及其应用
班号学号姓名
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
一
1、已知，求常数.
解：由于，知
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.（10分）
注：也可用Taylor展开式
2、求极限.
解：由于以及
，可得
.（10分）
二、
1、设在区间上连续，在区间内可导，且，证明存在，使得.
证明：对函数在使用Rolle定理（10分）
2、设在区间上连续，在区间内可导，且，为任意给定的实数，证明存在，使得.
证明：对函数在使用Rolle定理（10分）
3、设f(x)在[0,1]上连续，在内可导，且，.试证：
（1）存在，使；
（2）对于任意实数，比存在，使得.
证明：（1）对函数在使用零点定理（5分）
（2）对函数在使用Rolle定理（5分）
三、
1、讨论方程有几个实根
解：令，，得
令，，得
，
又在或内单调递减，在内单调递增，（5分）
由零点定理和单调性得，是方程的根，在区间内有且仅有一个实根，在和内没有实根，所以方程仅有两个实根.（5分）
2、试就的不同取值，讨论方程的实根的个数.
解：令，，
则在单调递减，内单调递增（5分）
因此当时有最小值，于是
无实根，一个实根，两个实根（5分）
四、
1、证明不等式.
证明：令，则，由得，又，所以在上单调增加。（5分）
因此；，这就说明，故对任意，，即原不等式成立.（5分）
2、证明：当时，.
证明：令，
则，且.
又，（），（5分）
故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.（5分）
五
设函数在上二阶可导，并且,求证：存在，使得.
证明：应用泰勒公式将分别在，处展开注意到，则有
（4分）
于是
，（4分）
即得，其中.（2分）
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