24.1.2垂直于弦的直径 课件人教版数学九年级上册.pptxVIP

24.1.2垂直于弦的直径

人教版九年级上册

新知导入

04课堂练习

06作业布置

01教学目标

03新知讲解

05课堂总结

目录

1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进

行计算和证明；

2.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原

女：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，向径几何?”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道其大小，于是用锯子(沿横截面)锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少?(一尺等于十寸)

用数学语言可表述为：“如图，在○O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。”

探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么?由此你能得出什么结论?

猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.你能证明上述结论吗?

证明：如图，设CD是○O的任意一条直径，

A为0O上点C,D以外的任意一点.

过点A作AA⊥CD,交00于点A,

垂足为M,连接OA,OA.

在△OAA中，

OA=OA

∴△OAA是等腰三角形

∵AA⊥CD

∴AM=MA

即CD是AA的垂直平分线

这就是说，对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A,因此o0关于直线CD对称.

轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

在圆形纸片上作oO的任意一条弦AB,再作直径CD⊥AB,垂足为E.沿着直径CD

对折，你发现了什么?有哪些相等的线段和弧?

观察发现：

点A与点B重合，AE与BE重合，

AC与BC重合，AD与BD重合.

所以AE=BE,AC=BC,AD=BD

已知：如图，CD是○O的任一条直径，A是0O上点C,D以外任意一点，过点A

作CD⊥AB,交oO于点B,垂足为E.求证：AE=BE.

证明：连接OA、OB,

在△OAB中，

∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形

又∵CD⊥AB,

即CD是AB的垂直平分线.

.∴AE=BE

这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD

的对称点B,因此o0关于直线CD对称.

这样，我们就得到垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

符号语言：

∵CD是0O的直径，CD⊥AB

∴AE=BE,AC=BC,AD=BD

定理中的两个条件缺一不可：

①过圆心(直径);

②垂直于弦.

是弦，AC=BC

AD=BD

③平分弦

④平分弦所对的优弧

⑤平分弦所对的劣弧

CD是直径、AB

CD⊥AB

①直径过圆心

②垂直于弦

DAE=BE

已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB

求证：CD⊥AB,AC=BC,AD=BD

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直卡弦，并且平分弦所对的两条弧.

②垂直于弦

④平分弦所对优弧

⑤平分弦所对的劣弧

①直径过圆心③平分弦

例2赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为

7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).

分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为0,半径为R.

经过圆心0作弦AB的垂线0C,D为垂足，0C与AB相交于点C,连接

0A.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高

由题设可知，AB=37m,CD=7.23m

所以，),OD=0C-CD=R-7.23

在Rt△0AD中，由勾股定理，得

8.5²+(R-7.23)²

解得R≈27.3(m)

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m

²

D

1

0

R²

AD

即

0A²=

涉及垂径定理时辅助线的添加方法

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离)弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

弓形中重要数量关系

弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系：

0

1.如图，oO的半径为3,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,若

OP=4,∠P=30°,则弦AB的长为(C).

A.√5B.2√3