高等数学《格林公式》.pptVIP

3.计算平面面积格林公式:闭区域D的面积解解5)应用格林公式时一定要注意条件xyoLyxoxyo格林公式小结:1.格林公式:2.格林公式的应用.应用格林公式计算时应注意两点：1)L必须是封闭曲线,且二重积分易算出.若L不封闭,要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算出.2)P(x,y),Q(x,y)在所考虑区域上应有连续偏导.若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点.二、平面曲线积分与路径无关的条件

1.曲线积分与路径无关的定义Gyxo二、曲线积分与路径无关的条件

1.曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内恒有定理2与路径无关的四个等价命题条件等价命题在单连通区域G上,P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.注:定理的两个条件缺一不可证明(1)(2)设L1,L2为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为:在D内取定点A(x0,y0)和任一点B(x,y),则同理可证因此有因曲线积分与路径无关,故存在函数证明(2)(3)设存在函数u(x,y)使得则有:由于Py,Qx在D内连续,从而在D内每一点都有证明(3)(4)设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为D??D(如图),证明(4)(1)则在D??D上有利用格林公式,得证毕例4(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线§8.3中我们已求得沿三条路线都有这里P=2xy，Q=x2.在整个平面内恒有所以曲线积分与路径无关.应用:对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.L解故曲线积分与路径无关.取定向直线段L1为:y=x,x:0?1,y=x则有:***运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.第四节格林公式一、格林(Green)公式二、曲线积分与路径无关的条件三、曲线积分基本定理四、小结一、格林公式1.区域连通性设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD边界曲线?D的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.3.格林公式定理1设D是xoy面上的有界闭区域,其边界曲线由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有:公式(1)叫做格林公式.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCEAB两式相加得证明(2)DGDFCEAB证明(3)由(2)知便于记忆形式:4.格林公式的简单应用1)简化曲线积分的计算OABL2)简化二重积分xyo***运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.*运行时,点击按钮“定理2”,可看定理2内容.