湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数（i为虚数单位），则（???）

A．0 B． C． D．2

3．已知为单位圆的内接正三角形，则（???）

A． B． C．1 D．

4．已知角的终边上一点，则（????）

A．1 B． C． D．

5．若的展开式中的系数为，则a的值为（???）

A．1 B．2 C． D．

6．已知函数的图象关于对称，为偶函数，且．则不等式的解集为（???）

A． B．

C． D．

7．函数的图象由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为曲线，直线，若直线与曲线交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（???）

A． B．

C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为

10．已知为函数的一个零点，则（???）

A．的图象关于对称 B．的解集为

C．时， D．时，，则的最大值为4

11．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（???）

A．若，，则点到平面的距离为

B．存在使得四棱锥有外接球

C．若，则棱锥体积的最大值为

D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，

三、填空题

12．已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为．

13．曲线的一条切线为，则．

14．小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片，爸爸有3张标有B的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为，则，．

四、解答题

15．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)求A；

(2)若，边的中线是AD，求．

16．如图，直四棱柱的体积为，，，的面积为．

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离；

(3)若，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．

17．在平面直角坐标系中，已知动点满足：．

(1)求动点E的轨迹方程；

(2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．

18．已知定义域为的两个函数与满足，．

(1)若有且仅有两个整数使关于x的不等式成立，求实数a的取值范围；

(2)求函数的极值；

(3)若，判断的符号，并说明理由．

19．已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”．

(1)已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”；

(2)若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求的前n项和．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

A

A

B

A

C

C

BCD

AD

题号

11

答案

ACD

1．D

【分析】求出集合，根据交集的定义即可得到结果.

【详解】由题意得，，

∴.

故选：D.

2．B

【分析】先运用除法运算进行化简，再结合共轭复数概念,减法计算即可.

【详解】，则，

故选：B.

3．A

【分析】先根据内接正各边以及与单位圆半径的关系，求出各边长度，再根据的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案.

【详解】如图所示:

因为单位圆半径为1，为单位圆的内接正三角形，

可得，又也是正的中心，延长交于，

可得，，，

设的边长为，则由勾股定理得，

即，解得.

所以，.又因为的夹角为的补角，

，所以的夹角为，

所以.

故选：A.

4．A

【分析】由任意角三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结果.

【详解】由三角函数定义知，，

所以.

故选：A.

5．B

【分析】利用二项展开式定理，即可求解.

【详解】因为，的展开式的通项公式为

所以，的展开式中