精品解析：山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

淄博中学2023-2024学年第二学期高一期中考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（）

A.2 B. C.1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到，即可判断其虚部.

【详解】复数，则，所以的虚部为.

故选：D

2.下列各式中，值为的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数的二倍角公式依次判断．

【详解】选项A，，错误；

选项B，，正确；

选项C，，原式的值为1，错误；

选项D，，错误.

故选：B.

3.在中，为的重心，.则（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算的性质，即可求解.

【详解】根据三角重心的性质，有，

所以，，故.

故选：B

4.已知向量、均为非零向量，，，则、的夹角为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设、的夹角为，由，得出，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出的值，结合的取值范围得出的值.

【详解】设、的夹角为，且，

，解得，，.

因此，、的夹角为，故选B.

【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题.

5.在中，若，则的形状是（）

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算判断即得.

【详解】在中，由，得，

即，因此，即，

所以是等腰三角形.

故选：C

6.在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可.

【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：，

再由余弦定理得：，

因为，所以，又，

由余弦定理，即，

因为，所以，即，

当且仅当时等号成立，

故的面积，

所以面积的最大值为.

故选：B.

7.第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（）

A.km B.km C.15km D.km

【答案】A

【解析】

【分析】首先求得，在中，运用正弦定理求得，进一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解.

【详解】在中，，

由正弦定理得，

，

在中，易知，，

所以，所以，

由余弦定理得．

故选：A.

8.点，，在圆上，若，，则的最大值为（）

A.3 B. C.4 D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件可得，为等边三角形.由向量的加法和数量积的运算结合余弦函数的和角公式可得答案.

【详解】由题意，则

又，所以为等边三角形.

显然，所以当时，有最大值4

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积的定义和数量积的最值问题，解答本题的关键是向量的加法得，然后由向量的数量积的定义得到，结合三角函数的恒等变换可得答案，属于中档题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.复数的虚部为

B.若i为虚数单位，则

C.复数在复平面内对应的点在第三象限

D.复数的共轭复数为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．

【详解】对于A,复数的虚部为，故A错误；

对于B,，故B正确；

对于C,复数在复平面内对应的点在第三象限，故C正确；

对于D,，其共轭复数为，故D错误．

故选：BC．

10.已知两个非零单位向量，的夹角为.以下结论正确的是（）

A.不存在，使

B.

C.

D.在方向上的投影向量的模为

【答案】ABC

【解析】