数学课前导引：从力做的功到向量的数量积.docxVIP

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§5从力做的功到向量的数量积

课前导引

问题导入

【问题】向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别？

思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算,其结果是数量(而不是向量）；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积,其结果仍然是向量，这个区别应引起重视。

知识预览

一、两平面向量的夹角

两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.

1。如右图，已知两个向量a、b，作,=a，=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.

2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］。当θ=0时,a、b同向；当θ=π时，a、b反向;当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b。

二、平面向量数量积的含义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b｜cosθ叫做a与b的数量积（linnerproduct）(或内积）,记作a·b,即规定a·b=|a｜|b｜cosθ.

其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（｜b|cosθ)叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.

三、平面向量数量积的运算律

1。已知向量a、b、c和实数λ，则有：

(1）a·b=b·a；

(2)（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb)；

(3）（a+b)·c=a·c+b·c。

2.运算律的证明：

(1）a·b=|a｜|b|cosθ=|b|｜a｜cosθ=b·a.

(2)(λa）·b=λ｜a|｜b|cosθ=λ(｜b|｜a|cosθ）=λa·b，

又λ|a||b|cosθ=aλbcosθ=a·（λb），

∴（λa)·b=λ（a·b）

=a·（λb）。

（3)如右图所示，任取一点O,作=a，=b，=c。因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和,即|a+b|cosθ=|a｜cosθ1+｜b｜cosθ2,

∴|c｜|a+b|cosθ=｜c|｜a|cosθ1+｜c||b｜cosθ2。

∴c·(a+b)=c·a+c·b.

∴(a+b）·c=a·c+b·c.

说明：①两个向量的数量积是个实数，而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积,其符号由夹角决定。

②两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.