数学学案：第四讲二用数学归纳法证明不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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二用数学归纳法证明不等式

1．通过教材掌握几个有关正整数n的结论．

2．会用数学归纳法证明不等式．

1．本节的有关结论

(1)n2＜2n(n∈N＋,______)．

(2)|sinnθ|≤________（n∈N＋)．

（3)贝努利不等式：

如果x是实数,且x＞－1,x≠0，n为大于1的自然数，那么有____________．

贝努利不等式更一般的形式：当α是实数,并且满足α＞1或者α＜0时,有____________________，

当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有______________．

(4）如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an

【做一做1】用数学归纳法证明Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al（2，n）＋…＋Ceq\o\al（n，n）＞(n≥n0且n∈N＋),则n的最小值为()

A．1 B．2 C．3 D．

2．用数学归纳法证明不等式

使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．

【做一做2】用数学归纳法证明“1＋eq\f（1,2）＋eq\f(1,3）＋…＋eq\f(1，2n－1)＜n(n∈N＋，n＞1)时,由n＝k(k＞1）不等式成立,推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(）

A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋

答案：1．(1)n≥5(2）n｜sinθ|(3）(1＋x)n＞1＋nx（1＋x）α≥1＋αx（x＞－1)（1＋x）α≤1＋αx(x＞－1）(4)n

【做一做1】B当n＝1时，左边＝Ceq\o\al(1，1）＝1,右边＝10＝1，1＞1不成立;

当n＝2时,左边＝Ceq\o\al(1,2）＋Ceq\o\al(2，2）＝2＋1＝3,右边＝＝eq\r（2），3＞eq\r(2），成立．

当n＝3时，左边＝Ceq\o\al(1,3）＋Ceq\o\al（2,3）＋Ceq\o\al（3，3）＝3＋3＋1＝7,

右边＝31＝3，7＞3，成立．

【做一做2】C当n＝k时，不等式1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1,3)＋eq\f(1，4）＋…＋eq\f(1，2k－1)＜k成立；

当n＝k＋1时,不等式的左边＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f(1，2k－1）＋eq\f(1，2k)＋eq\f(1，2k＋1)＋…＋eq\f(1，2k＋1－1），比较n＝k和n＝k＋1时的不等式左边，则左边增加了2k＋1－1－（2k－1)＝2k＋1－2k＝2k（项)．

1．观察、归纳、猜想、证明的方法

剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以,通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了．

在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a1＝1,b1＝2a1＜b1；a2＝4,b2＝4a2＝b2；a3＝9，b3＝8a3＞b3，从而归纳出n2＞2n（n∈N＋，n≥3)是错误的,前n项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．

2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧

剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n＝k到“n＝k＋1的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”,只用拼凑的方法，有时也行不通,因为对不等式来说，它还涉及“放缩的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化,从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．

题型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系

【例1】已知f(x)＝eq\f(xn－x－n，xn＋x－n).对于n∈N＋，试比较f（eq\r（2）)与eq\f(n2－1,n2＋1)的大小并说明理由．

分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向，再用数学归纳法证明．

反思:利用数学归纳