戴华《矩阵论》---第一章线性空间与内积空间--理论汇总梳理.ppt

*ppt课件*ppt课件*ppt课件例1.3.4在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是证明也是的基,并求及在此基下的坐标。*ppt课件由题，在基下的坐标为而且，基到基的过渡矩阵为所以*ppt课件例1.3.5已知矩阵空间的两组基：求基(I)到基(II)的过渡矩阵。*ppt课件解引入的标准基：显然*ppt课件类似地，*ppt课件则基(III)到基(I)的过渡矩阵为*ppt课件而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以*ppt课件从而因此基(I)到基(II)的过渡矩阵为*ppt课件注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。*ppt课件*ppt课件N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；例1.4.1对于任意一个有限维线性空间V，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间{0}和V本身。例1.4.2实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间。*ppt课件例1.4.3设A?Rm?n，记A={a1,a2,…an},其中ai?Rm，则k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间（或值域）,记为R(A)或Im(A)。即R(A)={y|y=Ax,x?Rn}*ppt课件注：判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，则很方便.*ppt课件*ppt课件*ppt课件下面考虑两个子空间的运算：注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V的子空间；*ppt课件*ppt课件例1.4.4设是线性空间的子空间，且则*ppt课件证明由子空间和的定义，有V1+V2=span(?1,?2…?s)+span(?1,?2…?t)={(k1?1+k2?2…+ks?s)+(l1?1+l2?2…+lt?t)|ki,lj?P}=span(?1,?2…?s,?1,?2…?t)*ppt课件例1.4.5设求的基与维数。*ppt课件所以可令设，则因此所以的基为，维数为解解关于的齐次方程组，得*ppt课件由例1.4.4由前得即然而线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故*ppt课件定理1.4.7（维数公式）设是数域P上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且注意到例1.4.5中这并不是偶然的。在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？*ppt课件*ppt课件*ppt课件*ppt课件*ppt课件例1.4.6设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容