复变函数-第二章.pptx

1;第二章解析函数;1.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念;一.复变函数的导数;(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.;(2)求导公式与法则;③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]?=f?(z)±g?(z)，

[f(z)g(z)]?=f?(z)g(z)+f(z)g?(z)

;④复合函数的导数(f[g(z)])?=f?(w)g?(z)，

其中w=g(z).;9;10;(1)复变函数在一点处可导，要比实函数

在一点处可导要求高得多，也复杂得

多，这是因为Δz→0是在平面区域上

以任意方式趋于零的原故.;(3)可导与连续;(3)可导与连续;14;15;2.4解析函数;;定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，

则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)?g(z)(g(z)≠0时)

均是D内的解析函数.;定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值

集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析.;1.解析函数的充要条件

2.举例;如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析.;一.解析函数的充要条件;;;记忆;定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，

则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程;证明

（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证

f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）.

;Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy);所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.;;定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要

条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且

满足Cauchy-Riemann方程;使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.;二.举例;解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny;仅在点z=0处满足C-R条件，故;例2求证函数;;练习:;;;;42;43;44;45;46;47;1.指数函数

2.三角函数和双曲函数

3.对数函数

4.乘幂与幂函数

5.反三角函数与反双曲函数;;一.指数函数;;;这个性质是实变指数函数所没有的.;;55;56;57;58;二.对数函数;;;;特别;(2)对数函数的性质;例4;;;;;三.乘幂与幂函数;—q支;(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的

n次根意义一致.;解;幂函数zb;;76;四.三角函数和双曲函数;正弦与余弦函数的性质;;;;;由正弦和余弦函数的定义得;;;定义;;5.反三角函数与反双曲函数;89;*第四节平面场的复势;91;92;93;94;95;96;97;98;99;100;101;102;103;104;105;106;107;108;109;110;111;112;113;114;四、小结与思考