(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档.ppt

..（2）取.则便是和的一组标准正交基..11.设是欧氏空间中的单位向量，证明：（1）是线性变换；证明：任给（2）是正交变换.（1）.（2）所以是线性变换.所以是正交变换.*.【命题3.1.2】设（1）是任意复数，则中向量，（2）是内积空间与等号成立当且仅当（3）线性相关（此称为Cauchy-Schwarz不等式）；此称为三角不等式.证明：（1）显然。为证（2），不妨设.注意（1）它满足下列三个条件：的距离为（2）★定义内积空间与展开左边（3）这就是Cauchy-Schwarz不等式.中两个向量对称性：得非负性：三角不等式：.3.2正交性与Gram-Schmidt正交化方法由Cauchy-Schwarz不等式可知则的夹角为在内积空间中，若确定。与正交于故可定义的夹角与它由故此时称记为.显然，若与也正交于的子集，如果设则正交，记为正交于的任意向量正交，则称与是内积空间如果内积空间中的一组非零向量两两相交，则称该组向量为一个正交组.如果一组单位向量两两正交，则称它为标准正交组.如果正交组又是内积空间的基，则称它为正交基..【命题3.2.1】正交组是线性无关组.例3.2.1在欧氏空间【定理3.2.1】有限维内积空间存在标准正交基.再有中，求三个向量所生成的标准正交基.解：取..单位化.3.3正交补空间3.3.1正交补空间的子空间.的子空间.则是内积空间，设是记为维内积空间，是【定理3.3.1】设令容易证明是的一个正交补，是的一个子空间，称为.并将其扩充成当证明:选择存在数的一组正交基的一组正交基：时，由是由向令量组对任意生成的子空间.则使得.从而实矩阵.则可得的任何(实际上任何非空子集即可),正交补（1）是即得总是存在的.令由此定理的证明可知，对欧氏空间子空间【定理3.3.2】设（2）.故个行向量，所以证明：设为矩的第则的第即个列向量，则记阵是矩阵反之，设从而故从而.正交补空间的一个重要应用是下面的“最佳近似”定理.为此，先引入一个向量在一个子空间的“最佳近似”的定义.使之满足下面条件的向量3.3.2最佳近似是欧氏空间的最佳近似向量是向量，它在【定义3.3.1】设的子空间的任一.是且【定理3.3.3】(最佳近似定理）设是欧氏空间则如果是的一个子空间.的任一向量，证明：设上的最佳近似向量.在是所以中任一向量，注意.是上的最佳近似向量为【命题3.3.1】设是欧氏空间的子空间，基，则是的一个向量，在的一个正交基，则在特别，若还是上的最佳近似向量为的一个标准正交.是其中因此，对任意即最佳近似定理表明，为求一向量间解有在子空上的最佳近似向量.在中的最佳近似向量，只需求在直和分下的表达式即可.即若则就是在上的最佳近似向量.此最佳近似向量不是别的，正是Gram-Schmidt正交化方法中向量在中的投影向量，称为在上的正交投影向量.确切地说，有下述命题..如果一个线性方程组有解，则称它是相容的；否则就称其为不相容的或矛盾的.设均有3.3.3矛盾方程的最小二乘解是一个矛盾方程，即对任意向量是方程的一个最优解.均有此时如果存在向量则称使得对任意向量.对任何矩阵的列空间向量上的最佳近似向量.因此的最优解总是属于系数矩阵则矛盾如果方程量为向必须使在子空间由最佳近似定理可知，它要求即故向量应满足方程此方程称为矛盾方程的正规化方程.其系数矩阵的秩.(参见习题1，第6题).而增广矩阵的秩满足关系：因此正规方程总是相容的，且当相容时，与同解。★★当为相容方程时，设有则.的解；的解也是表明而显然的解也是的解，因此当相容时，与同解..3.4选定基下内积的表达式维酉空间(或欧氏空间)本节主要在复数域上讨论（实数域上的讨论可以看成特殊情况).对于给定其一组基设则内积.其中或者写成矩阵形式的共轭转置.此处矩阵为称为基矩阵.当下的度量矩阵或Gram是一个实对称矩阵.一般地，由于内积是共轭对称时,内积是对称的，此时矩阵的，这时时Hermite矩阵（即满足.则有的矩阵).进