专题训练：尺规作图三种常考题型（解析版）.docxVIP

尺规作图常考题型

题型01作角的平分线

【典例分析】

【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）

??

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．

作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得，，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．

【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．

??

求证：

证明：∵，

∴，，，

∵、分别是和的平分线．，

∴，

在和中，

∴()，

∴

【例1-2】．已知：如图，是的角平分线．

(1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：．

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析，证明见解析

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图：

（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；

（2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．

【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；

（2）解：如图所示，点F即为所求，

∵，

∴，

∵是的角平分线，平分，

∴，

∴，

∴．

【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，．

(1)利用直尺和圆规作的平分线；

(2)如果，求的大小．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键．

（1）根据尺规作角平分线的作图方法即可；

（2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可．

【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；

（2）解：∵，

∴设，则，

∴，

∵射线是的平分线，

∴，

∵，

∴，解得，

即

【变式演练】

【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】根据，，得到是等腰直角三角形，作的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，解得即可．

本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图，灵活应用等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．

【详解】根据，，得到是等腰直角三角形，

故的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，作图如下：

则点D即为所求．

【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

??

【答案】见解析

【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键．

【详解】解：如图所示：点P即为所求．

??

【变式1-3】．如图，中，，．

(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)若，直接写出的面积为：．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

（1）根据角平分线的作法即可完成作图；

（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．

【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作，

；

（2）解：如图，作于，

，

∵平分，，

∴，

∴

题型02作线段的垂直平分线

【典例分析】

【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l．

(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；

(2)在（1）中所作的图中，若，，求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可；

（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．

此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：在和中

，

【例2-2】（2023秋?桂林期末）综合与实践

（1）【实践操作】：

已知：线段，如图1，

作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）

发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是等腰三角形．

（2）【类比探究】：

已知：如图2，在中，，

作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

（3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形．

【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到直线，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰