复变函数第二章.ppt

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1、复变函数的概念

2、复变函数的极限

2、复变函数的连续性

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1、复变函数的定义

·复变函数:

设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个

确定的法则f存在,按这个法则f,对于集合G中

的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与

之对应,那么称复变数w是复变数z的函数（简称

复变函数）,记作wf(z).

如无特别声明以后讨论的函数均为单值函数。

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·集合G称为f(z)的定义集合（定义域）

·对应于所有z的一切w值所成的集合称为

函数值集合（值域）

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3z1

例1复函数wz2,wz,wz，w都是z

z1

的单值复变函数.

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例2复函数wArgz,wz都是z的多值复变函数.

·复变函数与自变量之间的关系:

复变函数w与自变量z之间的关系wf(z)

相当于两个关系式:uu(x,y)，vv(x,y)，

即两个关于x,y的二元实变函数。

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复变函数w=f(z)与实二元函数关系

（1）代数表示：zxiy,wuiv

uu(x,y)

wf(z)

vv(x,y)

（2）三角/指数表示：zrei,wei

(r,)

wf(z)

(r,)

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例：函数wz2,

令zxiy,wuiv,

则uiv(xiy)2x2y22xyi,

于是函数wz2对应于两个二元实变函数:

ux2y2,v2xy.

或利用三角表示式：

令z=rei,则w=f(z)=u(r,)+iv(r,)

zrei

wz2r2cos2ir2sin2ur2cos2vr2sin2

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对于复变函数,由于它反映了两对变量u,v

和x,y之间的对应关系,因而无法用同一平面内

的几何图形表示出来,必须看成是两个复平面上

的点集之间的对应关系.

复变函数是两个复平面上的点集间的对应关

系，称为z平面和w平面。

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如果用z平面上的点表示自变量z的值,而用

另一个平面w平面上的点表示函数w的值,那么

函数wf(z)在几何上就可以看作是把z平面上

的一个点集G（定义集合）变到w平面上的一个

点集G*（函数值集合）的映射（或变换），这个

映射通常简称为由wf(z)所构成的映射。

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如果G中的点z被映射wf(z)映射成G*

中的点w,那么w称为z