2024年高考数学二轮复习高考原生态满分练3数列含解析.docxVIP

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高考原生态满分练3数列

[典例](本题满分12分)已知数列{an}是公比为2的等比数列,其前n项和为S

(1)在①S1+S3=2S2+2,②S3=73,③a2a3=4a4这三个条件中任选一个,补充到上述题干中.求数列{an}的通项公式,并推断此时数列{an}是否满意条件P:对随意m,n∈N*,aman均为数列{an}中的项,说明理由

(2)设数列{bn}满意bn=nan+1ann-1,n∈N*,求数列{bn

注:在第(1)问中,假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

学生解答

老师批阅

分析1:先写出所选条件,再利用所选条件解题;

分析2:理解通项公式的特点是推断aman是否为数列{an}中的项的关键点,选①③推断出“aman是数列{an}中的项”,还应详细指出选①aman是数列{an}的第m+n-1项,选③aman是数列{an}的第m+n+1项,否则扣2分;选②推断出“a1a2不是数列{an}中的项”,若举出反例只有计算结果但不推断该结果不是数列中的项,或无其他推断理由均扣2分;

分析3:第(2)问:两式相减得“-Tn=1+21+22+…+2n-1+n×2n”,出现运算符号错误;

分析4:第(2)问:算到-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=(1-n)2n-1,而未得最终结果Tn=(n-1)2n+1,扣1分.

满分答题

高考原生态满分练3数列

解(1)选①,

因为S1+S3=2S2+2,

所以S3-S2=S2-S1+2,即a3=a2+2,

又数列{an}是公比为2的等比数列,

所以4a1=2a1+2,解得a1=1,2分

所以an=1×2n-1=2n-1.3分

此时对随意m,n∈N*,aman=2m-1·2n-1=2m+n-2.

因为m+n-1∈N*,所以aman是数列{an}的第m+n-1项,5分

所以数列{an}满意条件P.6分

选②,

由S3=73,得a1+a2+a3=7

又数列{an}是公比为2的等比数列,

所以a1+2a1+4a1=73,解得a1=13,

所以an=13×2n-1.

此时a1a2=29a1≤an,a1a2不是数列{an}中的项,5分

所以数列{an}不满意条件P.6分

选③,

因为a2a3=4a4,数列{an}是公比为2的等比数列,

所以2a1·4a1=4×8a1.

又a1≠0,所以a1=4,2分

所以an=4×2n-1=2n+1.3分

此时对随意m,n∈N*,aman=2m+1·2n+1=2m+n+2.

因为m+n+1∈N*,所以aman是数列{an}的第m+n+1项,5分

所以数列{an}满意条件P.6分

(2)因为数列{an}是公比为2的等比数列,

所以an+1an=2,所以bn=n·2n-

所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,

2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,

两式相减得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n·2n9分

=1-2n1-2-n·2n=(1-n

所以Tn=(n-1)2n+1.12分