第一章 集合与常用逻辑用语 章末重难点归纳总结（解析版）_1.docx

第一章章末重难点归纳总结

考点一元素的互异性

【例1】（2023·云南）已知集合，，则（）

A． B．或 C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴或．

若，解得或．

当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当时，集合，满足题意，故成立．

若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．

综上所述，．

故选：D．

【一隅三反】

1．（2023·天津）已知集合，若，则实数a的值为（????）

A． B．

C．或 D．5

【答案】B

【解析】因为，，

当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故（舍去），

当，解得（舍去）或，此时，满足题意，故实数的值为.

故选：B.

2．（2023·重庆万州）已知，，若集合，则的值为（????）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】B

【解析】∵集合，分母，

∴，，且，解得，∴.故选：B.

3．（2023·黑龙江哈尔滨）已知集合，若，求实数a的取值集合．

【答案】

【解析】因为，所以

①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即

②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．

当时，集合为，元素重复，所以不成立，即

③若，解得或，由①②知都不成立．

所以满足条件的实数的取值集合为

考点二集合间的关系

【例2-1】（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（????）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】B

【解析】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，故选：B．

【例2-2】（2023·重庆）已知集合，，则下列关系正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若，解可得，或或，所以.

若，则，所以，所以.故选：B.

【例2-3】（2023·高一单元测试）已知，，且?，则a的取值范围为_________．

【答案】

【解析】由题意，集合，

当时，即，解得，此时满足?，

当时，要使得?，则或，

当时，可得，即，此时，满足?；

当时，可得，即，此时，不满足?，

综上可知，实数的取值范围为.

故答案为：.

【一隅三反】

1．（2023·高一课时练习）已知，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，

而最多有两个不相等的实数根，

由于，所以

故由韦达定理可得，

故选：C

2．（2023北京）已知集合和，那么（）

A．? B．?

C． D．

【答案】C

【解析】由，得到，所以，

又，所以故选：C.

3.（2023·上海浦东新）集合．

(1)若是，求实数的取值范围

(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和.

【解析】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得.

所以实数的取值范围为

（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，

当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和；

当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和.

考点三集合的运算

【例3-1】（2023·天津）已知集合，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，而，所以.故选：A

【例3-2】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为或，或，

所以或或或，

或或或.

由题意可知阴影部分对于的集合为，所以，

或.故选：D.

【例3-3】（2023·黑龙江哈尔滨）已知集合,，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解方程组可得或或，

又因为,，则.故选：D.

【例3-4】（2023·福建泉州）设集合.

(1)讨论集合与的关系；

(2)若，且，求实数的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)或

【解析】（1），

当时，；

当时，，是的真子集.

（2）当时，因为，所以，所以.

当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.

当时，解得，此时符合题意.

综上，或.

【一隅三反】

1．（2023·甘肃）设全集，集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，所以.故选：B.

2．（2023·浙江金华）已知集合，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，.

故选：A.

3．（2023·吉林长春）已知非空集合，

(1)当时，求；

(2)求能使成立的的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）当时，，；

（2），且，，

∴，解得，的取值范围是.

4．（2023春·吉林长春）已知集合，集合.

(1)若，求，；