第16讲 复数的三角形式（原卷版）.docx

第16讲复数的三角形式

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课标解读

通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

1.了解复数的三角形式的概念；

2.了解复数三角形式的乘除法。

知识精讲

知识精讲

知识点01复数的三角形式的概念

1.复数的辐角

(1)定义：以x轴的轴为始边、向量所在的(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角.

(2)辐角主值

[0，2π)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的，记作，即(0≤argz≤2π)，非零复数与它的模和一一对应.

(3)常用的有关辐角主值的结论

当时，；arg（-a）=，arg（ai）=，arg（-ai）=；arg0可以是[0，2π)中的任一角.

2.复数相等：两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与分别相等.

3.复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示:z=，其中，，，

r(cosθ+isinθ)叫作复数z的，而a+bi叫作复数z的代数形式.

【即学即练1】若，则的三角形式为（????）

A． B．

C． D．

知识点02复数的三角形式的乘除法

1.复数的乘法与乘方

把复数z1，z2分别写成三角形式z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2·(cosθ2+isinθ2)，则z1·z2=[r1(cosθ1+isinθ1)]·[r2(cosθ2+isinθ2)]=.

这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.

上面的结果可以推广到n个复数相乘：

因此，如果；，

就有

这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的倍.

2.复数的除法

设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1除以z2的商:

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角除数的辐角所得的.

【即学即练2】复数的三角形式是（????）

A． B．

C． D．

能力拓展

能力拓展

考法01复数的三角表示

【典例1】棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．

考法02复数乘除法的三角表示

【典例2】在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.

(1)求点C对应的复数；

(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（????）

A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对

2．设函数，那么是（????）

A． B． C． D．

3．复数化成三角形式，正确的是（????）

A． B．

C． D．

4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（????）

A． B． C． D．

5．写出一个的复数______．

6．将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值）

7．复数（i为虚数单位）的辐角主值为______．

8．若复数为虚数单位），则______．

9．已知，将复数表示成三角形式．

10．计算：．

题组B能力提升练

1．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（????）

A．＋i B．－＋i

C．－－i D．－i

2．复数的三角形式是（????）

A． B．

C． D．

3．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（????）

A．负实数 B．纯虚数

C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)

4．欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（????）

A．-1 B．1 C．- D．

5．已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是____