第23讲 用样本估计总体（解析版）.docx

第23讲用样本估计总体

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课程标准

课标解读

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义。

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义。

3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律。

4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义。

1.掌握从常见统计图表中获取有用的信息，体会统计数学在实际生活中的应用，通过实例，理解百分位数的含义。

2.掌握求样本数据的众数、中位数、平均数；

3.理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中趋势；

4.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法。

知识精讲

知识精讲

知识点01用样本估计总体的集中趋势参数

1.平均数

(1)均值：一般地，把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。

(2)平均数：如果给定的一组数是则这组数的平均数为。

(3)一般地，若取值为的频率分别为则其平均数为。

(4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为：第j层的样本量为，样本平均数为，。记，则所有数据的样本平均数为。

2.众数：一组数据中出现次数最多的数。

3.中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。

【微点拨】平均数、中位数和众数的特点

(1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化。容易受极端值的影响。

(2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中(数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等)，也可能不在所给的数据中(数据个数为偶数且中间两数不相等)。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用中位数描述其集中趋势。

(3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。

4.频率直方图中的数字特征

(1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。

(2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。

(3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。

【即学即练1】某学校对间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为,,,四个等级.其中分数在的为等级;分数在的为等级;分数在的为等级;分数在的为等级.考核评估后,得其频率折线图如图所示,估计这间学生公寓评估得分为等级,的比评估得分为等级,的多(???)

A．间 B．间

C．间 D．间

【答案】C

【详解】由频率折线图可知,

分数为等级的频率为;

分数为等级的频率为;

分数为等级的频率为;

分数为等级的频率为,

所以,

即评估得分为等级,的比评估得分为等级,的多间.

故选:C.

知识点02用样本估计总体的离散程度参数

1.极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.

2.样本方差和样本标准差

设一组样本数据其平均数为，则称，

即为这个样本的方差，其算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差。

3.标准差

因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。

对标准差的理解

(1)标准差反映的是这组数据偏离平均数的大小.在实际应用中，常被理解为稳定性。

(2)常结合平均数、方差(标准差)的大小来进行人员的筛选和选拔。

4.一般地，若取值为的频率分别为则其方差为

。

5.分层抽样数据的方差

一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为第j层的样本量为，样本平均数为：，样本方差为，。记那么，所有数据的样本方差为

。

【即学即练2】已知一组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【详解】由题意得,得,

所以这组数据的方差，

故选：C.

知识点03百分位数

1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk。

2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤

第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列；

第2步，计算。

第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；

第4步，如果不是整数，那么将其向上取整