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2025届高三10月联考
数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，.若，则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】
【分析】用列举法表示集合，根据求的值.
由得，解得，
∴.
∵，，
∴，解得.
故选：A.
2.已知a，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断.
当，时，，但是，故；
当，时，，但是，故；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3.已知是关于的方程的一个虚根，则（）
A. B.2 C. D.1
【答案】C
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程虚数根共轭和韦达定理可求的值.
因为是关于的方程的一个虚根，
所以是关于的方程的另一个虚根，
所以，解得.
故选：C
4.设是锐角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案.
因且，
所以，
故，结合，
解得.
故选：C.
5.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当时，根据一元二次函数的单调性求参数范围；当时，根据导数与单调性的关系求参数范围，再根据函数在上单调递增，列不等式求解即可.
由题知当时，单调递增，所以，解得；
当时，单调递增，所以恒成立，
即恒成立，所以；
因为在上单调递增，所以当时，，
所以的取值范围是.
故选：.
6.已知点，，.动点满足，则的最大值为（）
A. B. C.30 D.31
【答案】C
【解析】
【分析】设，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，整理可得，结合圆的性质运算求解.
设，
则，
整理可得，
故点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
又因为，
且，
可得，所以的最大值为30.
故选：C.
7.存在函数满足：对任意都有（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义分别判断各选项.
对于A，令，则，有个函数值对应，故A错误；
对于C，取，可知，再取，可知，故C错误；
对于D，取，，取，，故D错误；
对于B选项，令，对于每一个，都有唯一的与之对应，也即有唯一的与之对应，因此符合函数定义，故B正确；
故选：B.
8.已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设在第一象限，直线，的倾斜角分别为，，由题意，利用点坐标，可得，进一步可求，根据方程组，可求，从而得到点坐标，求得的面积.
如图：
由题意可知：、.
不妨设在第一象限，设，的倾斜角分别为，，则.
故，注意到，
因此，
解得，，
故，，代入解得：，.
故的面积为.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题的关键是求出点坐标.不妨设在第一象限，结合三角形的外角定理得，用点坐标表示，可得，结合两角和与差的正切公式，可求的值，进一步可求出点坐标.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（）
A.，为奇函数 B.当时，单调递增
C.，使得恰有一个极值点 D.当时，存在三个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇偶性定义判断A；利用导数得到单调性可判断B；根据极值的定义判断C；求出函数零点判断D.
对于A选项，函数定义域为R,，，为奇函数,A正确；
对于B选项，当时，，单调递增，B正确；
对于C选项，若恰有一个极值，则有一个解，可得，此时恒成立，单调递增，无极值点，故不存在，使得恰有一个极值，C错误；
对于D选项，，存在三个零点0，，，故D正确.
故选：ABD.
10.已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由通项公式可推出等比数列下标和的性质，选项A正确；当等比数列公比为1时选项B错误；根据条件和等比数列下标和性质得出，推出，选项C正确
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