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数学的三大核心领域——代数学范畴

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共

和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属

于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三

大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与

形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本章

简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

一、代数学范畴

1、算术

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如

《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”

之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学

中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、

正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题

加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，

缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人

们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常

生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时

间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。

它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在

印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加

法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导

出来。后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了

世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，

因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词

的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个

方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构

成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一

元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备

了。

古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里

得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九

章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。

3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术

(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发

现了三次和四次方程的解法。

代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问

题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为

三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代

数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。

然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了

好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解

多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联

系，称为符号代数。16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展

有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形

式。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过

正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。

1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用

后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。

1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次

使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数

的习