2024-2025学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三上学期10月阶段检测数学试卷含详解.docx

华南师大附中2025届高三10月阶段检测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.

1.的最大值是（）

A. B. C. D.

2.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

3.掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（）

A.互斥 B.互对立 C.相互独立 D.相等

4.设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（）

A. B. C. D.

5.已知椭圆：，点，，且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的（）条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不必要也不充分

6.在外接圆半径为的中，，，分别为角，，的对边，若，则（）

A. B. C.或 D.

7.若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（）

A. B. C. D.无法确定与的大小关系

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得0分.

9.已知，，，，，为依次增大的一组数据，则去掉和后，这组数据的（）一定减小.

A极差 B.下四分位数 C.上四分位数 D.中位数

10.如图所示，四面体的底面是以为斜边的直角三角形，体积为，平面，，为线段上一动点，为中点，则下列说法正确的是（）

A.三棱锥的体积和三棱锥的体积相等

B.当时，

C.当时，

D.四面体的外接球球心为，且外接球体积与之比的最小值是

11.对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数的图像连续不断，且在定义域内有导函数，则下列说法正确的有（）

A.若函数图像关于点对称，则函数的图像关于直线对称

B.若单调，在定义域内，则函数的图像上可能存在关于对称的两点

C.若为的极值点，则“函数的图像上存在关于直线对称的两点”是“函数的图像上存在关于对称的两点”的充分不必要条件

D.若函数，则当且仅当时，的图像上存在关于直线对称的两点.参考数据：

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知为虚数单位，复数满足，则___________.

13.已知正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则______.

14.设定义域为的单调递增函数满足，且，则时，___________，若实数，满足对任意符合题意的都有，则的最小值为___________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知在中，，，分别为角的对边，的面积为.

（1）求的值；

（2）若，证明：.

16.已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值.

17.如图所示，正四面体棱长4，，，分别在棱，，上，.

（1）求的最小值；

（2）求三棱锥体积最大时的面积.

18已知函数.

（1）若在处的切线过原点，求的取值；

（2）若在上单调递增，求的取值范围.

19.已知为正整数，集合中，依次构成公比为的正项等比数列.

集合为的非空子集.若中只有一个元素或中任意两个元素都满足，则称为的“-分离子集”.记数列为的正零点.

（1）写出的所有2-分离子集；

（2）记的“1-分离子集”的数量为，证明：；

（3）在中的所有非空子集中等概率地选取一个子集，证明：为的“-分离子集”的概率大于.

华南师大附中2025届高三10月阶段检测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.

1.的最大值是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】根据条件，利用的性质，即可求出结果.

【详解】易