人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题 第06章 平面向量及其应用 学习单元2 6.2.3 向量的数乘运算.docVIP

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第六章6.2.3向量的数乘运算

A级必备知识基础练

1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是()

A.a与λa的方向相同 B.|-λa|≥|a|

C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|

2.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()

A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线

3.如图,在△ABC中,D是BC边上靠近点B的三等分点,则AD=()

A.2

B.1

C.2

D.1

4.已知在△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的(

A.垂心 B.内心

C.外心 D.重心

5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.?

6.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.?

7.已知向量a,b,且5x+2y=a,3=e1,AN=e2,试用e1,e2表示DB,

B级关键能力提升练

9.已知D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,则AD=(

A.-13AB

C.43AB

10.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,

A.2 B.32

C.3 D.6

11.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB-2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,求实数λ

12.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.

(1)用向量a与b表示向量OC;

(2)若OE=35OA,判断C,D,E

答案：

1.C解析因为λ≠0,所以λ20,于是向量a与λ2a的方向相同.

2.A解析∵向量BD=BC+

∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.

3.C解析AD=AB+BD=

4.D解析设D为BC中点,则AB+AC=2

∴AP=2λAD,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.

5.-13由向量共线可得

即a+λb=kb-3ka,

∴(1+3k)a=(k-λ)b.

∵a,b不共线,

∴1+3k=0,k-λ=0

6.等腰梯形解析由已知得AB=-57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD

又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.

7.解将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,

∴x=111a+2

∴y=3x-b=3111a+211b

8.解DB=2MN=2(AN-AM)=2e2-2e

AO=AM+MO=AM+12(AN

9.A解析因为D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,所以AD=AC+

10.C解析(方法一)AB+AC=

又PA+PB+PC=0,即

∴AB+AC=-3PA=λAP=-λ

∴λ=3.

(方法二)PA+PB+PC=0,

由重心的几何性质,可知AP=

∴AB+AC=2AD=3

∴λ=3.

11.解记2AM=

∵AN-AB+2AN-2

∴BN=2NC,S△ABC=32S△ABN

又S△ABM=12S△ABN

∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.

12.解(1)∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,

∴AC=-a.∴OC=

(2)C,D,E不共线.理由如下,

假设存在实数λ,使CE=λCD.

∵CE=CO+OE=a+b+

CD=CB+BD=CB+

∴a+25b=λ5

∴53λ=1

∴不存在实数λ,满足CE=λCD.

∴C,D,E三点不共线.