对数与对数函数 课件-2025届高三数学一轮复习.pptx

第六讲对数与对数函数2025年高考一轮总复习第二章函数、导数及其应用

概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制条件：a0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N?x＝logaN负数和零没有对数1的对数是0：loga1＝01.对数

性质底数的对数是1：logaa＝1对数恒等式：alogaN＝N运算性质loga(M·N)＝logaM＋logaNa0，且a≠1，M0，N0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)(续表)

【名师点睛】换底公式的三个重要结论(3)logab·logbc＝logac.其中a，b，c均为不等于1的正数，m，n∈R，m≠0.

y＝logaxa10a1图象定义域(0，＋∞)值域R2.对数函数的图象与性质

y＝logaxa10a1性质过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减(续表)

3.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

【名师点睛】 对数函数的图象与底数大小的比较如图2-6-1所示，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.图2-6-1 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

考点一对数的运算1.(2022年浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝()A.25B.5C.25 9D.53

答案：C

2.(2023年乌鲁木齐市校级月考)设9a＝45，b＝log95，则()A.a＝b＋9C.a＝9bB.a－b＝1 解析：由9a＝45得a＝log945＝log9(5×9)＝log95＋log99＝log95＋1＝b＋1，所以a＝b＋1，所以a－b＝1，B选项正确，其他选项不正确.故选B. 答案：B

答案：1

【题后反思】对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

考点二对数函数的图象及应用 [例1](1)(多选题)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()ABCD

解析：易知g(x)＝loga|x|为偶函数.当0＜a＜1时，f(x)＝ax-2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f(x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意.故选AD.答案：AD

图2-6-2图2-6-3答案：B

【题后反思】利用对数函数的图象解决问题的技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)对一些对数型方程、不等式问题，常将其转化为相应的函数图象问题，再利用数形结合法求解.

【变式训练】1.函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()ABCD

解析：令f(x)＝y＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数项B.故选A.答案：A

a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图D5可知a1. 图D5 答案：(1，＋∞)

类型方法logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 考点三对数函数的性质及应用考向1解对数方程、不等式通性通法：求解对数不等式的两种类型及方法

[例2](1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________.

答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解得a＞1或－1＜a＜0.

若底数相同若底数为同一常数，可利用对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一参数，则