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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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定值问题
2018年全国卷Ⅰ文20设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(﹣2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:∠ABM=∠ABN.(本质为斜率和为定值)
2019全国卷Ⅰ文21已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.
四、最值与取值范围问题
1、设B是椭圆的上顶点,点P在C上,则的最大值为()
A. B. C. D.2
2.(2021年全国新高考Ⅰ卷)已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为()
A.13 B.12 C.9 D.6
3.(2021年全国高考甲卷)已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
4.(2021年全国乙卷)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.
5(2019年2卷文)
5.(2022·湖南衡阳·二模)设椭圆的左顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上异于点的两动点,若直线的斜率之积为.
①证明直线恒过定点,并求出该点坐标;
②求面积的最大值.
1.已知椭圆C:过点,且离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求面积的最大值.
2.已知椭圆的离心率为,且焦距为4.
(1)求的方程;
(2)设直线的倾斜角为,且与交于两点,点为坐标原点,求面积的最大值.
3.已知椭圆:()的左、右焦点分别为,,离心率为,长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线的过定点,若椭圆上存在两点,关于直线对称,求直线斜率的取值范围.
参考答案:
已知P(1,2)在抛物线C:y2=2px上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)A,B是抛物线C上的两个动点,如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2,证明:直线AB过定点.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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1.(1)
(2)2
【解析】
【分析】
(1)根据题意,列出关于a,b的方程,解方程可得答案;
(2)设直线l的方程,和椭圆方程联立,得到根与系数的关系,从而求得弦长,求得点P到直线l的距离,根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.
(1)
∵,∴,
又椭圆C:过点,
∴,∴,,
故所求椭圆方程为;
(2)
设l的方程为,,,
联立得,
由,解得,
由韦达定理,得,,
则.
点P到直线l的距离,
∴,
当且仅当,即时等号成立,
∴面积的最大值为2.
2.(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的离心率,焦距,再结合,即可求出C的方程;
(2)设出直线的方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求出,再利用点到直线的距离求出,即可求出面积的表达式,根据表达式即可求出的面积的最大值.
(1)
解:依题意可知,解得,,,故的方程为.
(2)
解:依题意可设直线的方程为,
联立,整理得,
则,解得.
设,,则,,
,
原点到直线的距离,
则的面积,
当且仅当,即时,的面积有最大值,且最大值为.
3.(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的离心率为,长轴长为求解;
(2)设直线方程为:,,AB中点的坐标为,利用点差法求得中点坐标,再由线段AB的中点在椭圆内部,即求解.
(1)
解:因为椭圆的离心率为,长轴长为,
解得,则,
所以椭圆的标准方程是;
(2)
易知直线的斜率存在,设直线方程为:,,
AB中点的坐标为,
则,两式相减得,
即,又,
解得,
因为线段AB的中点在椭圆内部,
所以,即,
解得,
所以直线斜率的取值范围
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