圆锥曲线最值专练.docx

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定值问题

2018年全国卷Ⅰ文20设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明：∠ABM=∠ABN．（本质为斜率和为定值）

2019全国卷Ⅰ文21已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

四、最值与取值范围问题

1、设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）

A. B. C. D.2

2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）

A.13 B.12 C.9 D.6

3.（2021年全国高考甲卷）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

4.（2021年全国乙卷）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

5（2019年2卷文）

5．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.

①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；

②求面积的最大值.

1．已知椭圆C：过点，且离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．

2．已知椭圆的离心率为，且焦距为4.

(1)求的方程；

(2)设直线的倾斜角为，且与交于两点，点为坐标原点，求面积的最大值.

3．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．

参考答案：

已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

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1．(1)

(2)2

【解析】

【分析】

（1）根据题意，列出关于a，b的方程，解方程可得答案；

（2）设直线l的方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，从而求得弦长，求得点P到直线l的距离，根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.

(1)

∵，∴,

又椭圆C：过点，

∴，∴，,

故所求椭圆方程为;

(2)

设l的方程为，，,

联立得,

由，解得,

由韦达定理，得，,

则．

点P到直线l的距离,

∴,

当且仅当，即时等号成立,

∴面积的最大值为2.

2．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由椭圆的离心率，焦距，再结合，即可求出C的方程；

（2）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出，即可求出面积的表达式，根据表达式即可求出的面积的最大值.

(1)

解：依题意可知，解得，，，故的方程为.

(2)

解：依题意可设直线的方程为，

联立，整理得，

则，解得.

设，，则，，

，

原点到直线的距离，

则的面积，

当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为.

3．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由椭圆的离心率为，长轴长为求解；

（2）设直线方程为：，，AB中点的坐标为，利用点差法求得中点坐标，再由线段AB的中点在椭圆内部，即求解.

(1)

解：因为椭圆的离心率为，长轴长为，

解得，则，

所以椭圆的标准方程是；

(2)

易知直线的斜率存在，设直线方程为：，，

AB中点的坐标为，

则，两式相减得，

即，又，

解得，

因为线段AB的中点在椭圆内部，

所以，即，

解得，

所以直线斜率的取值范围