高考数学导数知识题型全归纳专题06利用导数进行不等式恒成立证明(原卷版+解析).docxVIP

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导数章节知识题型全归纳

专题06利用导数进行不等式恒成立证明

例：1．已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围.

2．已知函数，.

（1）设时，求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，.

3．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，.

变式1．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意，求证：．

2．已知，函数

（1）若，求的取值范围；

（2）记（其中）为在上的两个零点，证明：．

3．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．

6.1与ex和lnx

例：1．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

2．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

3．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

6.2数列型不等式证明：

例：1.已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的最小值；

（2）若，证明：．

2.已知函数，其中为实常数．

（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；

（2）证明：当时，；

（3）求证：．

变式：1已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：

2.已知函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）求证：对任意的且，都有：．

（其中为自然对数的底数）．

6.3洛必达法则方法介绍：

例：1.若不等式对于恒成立，则的取值范围是.

2.已知函数.

（1）若在时有极值，求函数的解析式；

（2）当时，，求的取值范围.

变式：1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求实数的值；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2.设函数=；

（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求a的取值范围.

6.4拉格朗日中值定理方法介绍：

例：1.已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明:若,则对任意,,有

2.已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）设,如果对任意,,求的取值范围.

变式；1．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2．已知函数，.

（1）求的极值点；

（2）若，证明：对任意，且，有.

3．已知函数有两个极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：；

（3）若，求的最大值.

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导数章节知识题型全归纳

专题06利用导数进行不等式恒成立证明

例：1．已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【分析】

（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；

（2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.

【详解】

解：（1）当时，由已知得，

所以，令得，

即时，；时，；

故单调递增区间为，单调递减区间为；

（2），

由得，所以在单调递减，

设从而对任意，

恒有，

即，

令，则等价于在单调递减，

即恒成立，从而恒成立，

故设，

则

，

当时，为减函数，

时，，为增函数.

∴,

∴a的取值范围为.

【点晴】

方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．

2．已知函数，.

（1）设时，求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由切点处导数的几何意义求切线斜率，并由函数解析式求切点坐标，写出切线方程即可.

（2）由题设得当时，；设，利用导数研究单调性，即可证结论.

【详解】

解：（1）当时，，，

，，

则曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，，

设，，

设，知其在上单调递增，且，

当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

，即.

【点睛】

关键点点睛：

（1）根据导数的几何意义求切点处的切线方程.

（2）利用导数研究在不同区间的单调性，其中注意构造中间函数研究单调性及其最小值，进而确定.

3．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）答案见解析；（2）证