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8.5.3平面与平面平行

(教师独具内容)

课程标准：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．

教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．

教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．

核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

知识点一平面与平面平行的判定定理

1．文字语言：如果eq\x(\s\up1(01))一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

2．符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(02))a?β,\x(\s\up1(03))\a\vs4\al(b?β),\x(\s\up1(04))a∩b＝P,\x(\s\up1(05))a∥α,\x(\s\up1(06))b∥α))?β∥α.

3．图形语言：如图所示．

4．作用：证明两个平面eq\x(\s\up1(07))平行.

知识点二平面与平面平行的性质定理

1．文字语言：两个平面平行，如果eq\x(\s\up1(01))另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线eq\x(\s\up1(02))平行.

2．符号语言：若eq\x(\s\up1(03))α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则eq\x(\s\up1(04))a∥b.

3．图形语言：如图所示．

4．作用：证明或判断线线平行．

1．平面与平面平行的判定定理使用时必须具备的条件

(1)平面内有两条直线分别平行于另一个平面．

(2)这两条直线必须相交．

2．平面与平面平行的判定定理的推论

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

3．平面与平面平行的性质定理使用时必须具备的条件

(1)两个平面平行；

(2)第三个平面和这两个平面相交．

4．平面与平面平行的其他性质

(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a?α))?a∥β(可用来证明线面平行)．

(2)夹在两平行平面间的平行线段相等(反过来不成立)．

(3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))?α∥γ(用于证明面面平行)．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．()

(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()

(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.()

答案(1)×(2)×(3)×

2．做一做

(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()

A．一定平行 B．一定相交

C．平行或相交 D．以上判断都不对

(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是________.

(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：

①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；

②若α∥β，a∥α，a?β，则a∥β；

③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l?α；

④平行于同一个平面的两个平面平行．

其中所有正确结论的序号是________.

(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________.

答案(1)C(2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l?β

题型一平面与平面平行的判定

例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.

[证明]如图所示，取BB1的中点G，连接EG，GC1，

则有EG綊A1B1.

又A1B1綊C1D1，

∴EG綊C1D1.

∴四边形EGC1D1为平行四边形．

∴D1E綊GC1.

又BG綊C1F，

∴四边形BGC1F为平行四边形．

∴BF∥GC1.∴BF∥D1E.

∵BF?平面B1D1E，D1E?平面B1D1E，

∴BF∥平面B1D1E.

又BD∥B1D1，BD?平面B1D1E，B1D1?平面B1D1E，

∴BD∥平面B1D1E.

又BD∩BF＝B，BD，BF?平面BDF，

∴平面BDF∥平面B1D1E.

平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)利用线线平行：平面α内的两条相