6.2　6.2.4　第1课时　向量数量积的概念.doc

6.2.4向量的数量积

第1课时向量数量积的概念

(教师独具内容)

课程标准：1.通过物理中功的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

教学重点：1.平面向量数量积的相关概念.2.平面向量数量积的性质．

教学难点：平面向量的数量积与投影向量的关系．

核心素养：1.通过从物理中功的实例抽象出向量数量积概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量的数量积来解决问题提升逻辑推理素养和数学运算素养.

知识点一向量的夹角

条件

两个eq\x(\s\up1(01))非零向量a，b

产生

过程

O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\x(\s\up1(02))∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角

范围

eq\x(\s\up1(03))0≤θ≤π

记法

eq\x(\s\up1(04))〈a，b〉

特殊

情况

θ＝0

a与beq\x(\s\up1(05))同向

θ＝π

a与beq\x(\s\up1(06))反向

θ＝eq\f(π,2)

a与beq\x(\s\up1(07))垂直，记作eq\x(\s\up1(08))a⊥b

知识点二向量数量积的概念

已知条件

两个非零向量a与b，它们的夹角为θ

定义

eq\x(\s\up1(01))数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)

记法

记作eq\x(\s\up1(02))a·b，即a·b＝eq\x(\s\up1(03))|a||b|cosθ

规定

零向量与任一向量的数量积为eq\x(\s\up1(04))0

知识点三投影向量

(1)如图1，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq\x(\s\up1(01))投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的eq\x(\s\up1(02))投影向量.

(2)如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\x(\s\up1(03))eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．

(3)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(04))|a|cosθe.

知识点四向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝eq\x(\s\up1(01))|a|cosθ.

(2)a⊥b?eq\x(\s\up1(02))a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝eq\x(\s\up1(03))|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝eq\x(\s\up1(04))－|a||b|.

(4)a·a＝eq\x(\s\up1(05))|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).

(5)|a·b|eq\x(\s\up1(06))≤|a||b|.

对向量数量积的理解

(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．

(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心点不能省略，也不能把实心点用乘号“×”代替，写成a×b.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a与b的数量积a·b是一个向量．()

(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()

(3)若a⊥b，则a·b＝0.()

(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2．做一做

(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－