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第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

(教师独具内容)

课程标准：能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

教学重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用．

教学难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理、余弦定理解三角形．

核心素养：通过运用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等实际问题培养数学建模素养和数学运算素养.

知识点实际问题中的相关概念

1．基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做eq\x(\s\up1(01))基线.一般来说，基线越长，测量的精确度eq\x(\s\up1(02))越高.

2．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，eq\x(\s\up1(03))把视线在水平线上方的角称为仰角，eq\x(\s\up1(04))视线在水平线下方的角称为俯角，如图．

3．方向角

从指定方向到eq\x(\s\up1(05))目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图．方向角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，0与eq\f(π,2)指正方向，一般省略不写．

4．方位角

指从正北方向按eq\x(\s\up1(06))顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．方位角的范围是[0,2π)．

5．视角

观察物体的两端，视线张开的eq\x(\s\up1(07))夹角，如图．

1．解三角形应用题的步骤

(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型．

(3)选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．

2．解三角形在实际测量中的常见问题

(1)距离问题

(2)高度问题

(3)角度问题

测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)仰角与俯角都是视线与铅垂线所成的角．()

(2)方位角的范围是(0，π)．()

(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离．()

答案(1)×(2)×(3)×

2．做一做

(1)(2023·江苏南京市宁海中学高一阶段检测)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上

C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上

(2)(2023·河南开封五校高一下期末联考)如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，CD＝10，则建筑物AB的高度为()

A．5eq\r(3)＋5 B．eq\f(5?\r(6)＋\r(2)?,2)

C．5eq\r(3) D．eq\f(5\r(3)＋5,2)

(3)A，B两点间有一小山，选定能直接到达点A，B的点C，测得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________m.

答案(1)D(2)A(3)140

题型一两点间有一点不可到达的距离问题

例1如图，某河的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．求该河段的宽度．

[解]在△CAB中，

∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，

由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，

于是BC＝eq\f(ABsin∠CAB,sin∠ACB)＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))

＝eq\f(50,3)(3eq\r(2)＋eq\r(6))(米)．

于是河段的宽度为d＝BCsin∠CBA

＝eq\f(50,3)(3eq\r(2)＋eq\r(6))×eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50\r(3),3)＋50))(米)．

三角形中与距离有关问题的求解策略

(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．

(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三