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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析
培优点4切(割)线放缩
在高考压轴题中,经常考查与导数有关的不等式问题,这些问题可以用常规方法求解,
也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法,它可以帮助我
们更好地理解函数的性质和变化规律,更能使问题简单化,利用切线不等式进行求解,能起
到事半功倍的效果.
x
导数方法证明不等式中,最常见的是e和lnx与其他代数式结合的问题,对于这类问题,
x
可以考虑先对e和lnx进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公
x
式如下:(1)e≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.
题型一单切线放缩
x
常见的切线放缩:∀x∈R都有e≥x+1.当x-1时,ln(x+1)≤x.当x0时,xsinx;当x0
时,xsinx.
例1(2023·重庆模拟)已知函数f(x)=sinx-aln(x+1).
(1)若a=1,证明:当x∈[0,1]时,f(x)≥0;
x
(2)若a=-1,证明:当x∈[0,+∞)时,f(x)≤2e-2.
证明(1)首先证明sinx≤x,x∈[0,+∞),证明如下:
构造j(x)=sinx-x,x∈[0,+∞),
则j′(x)=cosx-1≤0恒成立,
故j(x)=sinx-x在[0,+∞)上单调递减,
故j(x)≤j(0)=0,
所以sinx≤x,x∈[0,+∞).
当a=1时,f(x)=sinx-ln(x+1),x∈[0,1],
1x1
2
f′(x)=cosx-=1-2sin-
x+12x+1
x
1x21
≥1-222-=1--
x+12x+1
x1
≥1--(0≤x≤1),
2x+1
2
2+2x-x-x-2x1-x
故f′(x)≥=≥0在x∈[0,1]上恒成立,
2+2x2+2x
所以f(x)在[0,1]上单调递增,
故f(x)≥f(0)=0.
x
(2)令g(x)=(2e-2)-f(x),x∈[0,+∞).
x
当a=-1时,g(x)=2e-2-sinx-ln(x+1)
x
=2(e-x-1)+x-sinx+x-ln(x+1),
x
下证:e-x-1≥0(x≥0),x-sinx≥0(x≥0),x-ln(x+1)≥0(x≥0),且在x=0处取等号,
xx
令r(x)=e-x-1(x≥0),则r′(x)=e-1≥0,
x
故r(x)=e-x-1在[0,+∞)上单调递增,
故r(x)≥r(0)=0,即x-sinx≥0,
且在x=0处取等号;
由(1)知j(x)=sinx-x在[0,+∞)上单调递减,
故j(x)≤j(0)=0,即x-sinx≥0,且在x=0处取等号;
令t(x)=x-ln(x+1)(x≥0),
1x
则t′(x)=1-=≥0,
x+1x+1
故t(x)=x-ln(x+1)在[0,+∞)上单调递增,
故t(x)≥t(0)=0,且在x=0处取等号,
x
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