第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（高频精讲）（解析版）_1.docx

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精讲）

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：知识点必背 2

第二部分：高考真题回归 4

第三部分：高频考点一遍过 8

高频考点一：函数奇偶性 8

角度1：判断函数奇偶性 8

角度2：根据函数奇偶性求解析式 10

角度3：函数奇偶性的应用 13

角度4：由函数奇偶性求参数 15

角度5：奇偶性+单调性解不等式 18

高频考点二：函数周期性及其应用 21

角度1：由函数周期性求函数值 21

角度2：由函数周期性求解析式 24

高频考点三：函数的对称性 26

角度1：由函数对称性求解析式 26

角度2：由函数对称性求函数值或参数 27

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 30

第四部分：高考新题型 33

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第一部分：知识点必背

1、函数的奇偶性

（1）函数奇偶性定义

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数

图象关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数

图象关于原点对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

（2）常用结论与技巧：

①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.

②，在它们的公共定义域上有下面的结论：

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

不能确定

不能确定

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

不能确定

不能确定

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

偶函数

③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）

2、函数对称性（异号对称）

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

①；

②；

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

3、函数周期性（同号周期）

（1）周期函数定义

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.

（2）最小正周期

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

（3）函数周期性的常用结论与技巧

设函数，.

①若，则函数的周期；

②若，则函数的周期；

③若，则函数的周期；

④若，则函数的周期；

⑤，则函数的周期

第二部分：高考真题回归

1．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为的图像关于直线对称，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，

.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，

所以

因为，所以.

所以.

故选：D

2．（2021·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

4．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

5．（2021·全国（乙卷文理）·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

6．（2022·全国（乙卷文）·高考