第03讲 等比数列及其前n项和 (分层精练）（解析版）_1.docx

第03讲等比数列及其前项和

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考期中）在等比数列中，，，则是（????）

A．1 B．3 C． D．

【答案】D

【详解】等比数列中,因为成等比数列，

且，，

所以，

故选：D.

2．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则的值为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得，

则.

故选：B

3．（2023春·北京·高二北京十四中校考期中）等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（????）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【详解】设等比数列的首项为，公比为，则有，

成等差数列，，即或（舍），

；

故选：C.

4．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】设等比数列的公比为，

由，，得，则；

由，，得．

故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件．

故选：B

5．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知数列{}为递增的等比数列，且，则{}的公比为（????）

A． B． C． D．2

【答案】D

【详解】由题意，得，解得或（因为递增，故舍去），所以的公比.

故选：D.

6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列为等比数列，，，且，则实数（????）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【详解】因为数列为等比数列，所以也为等比数列，

设数列的公比为，则，

因为，所以，，

所以，

故选：D

二、多选题

7．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（????）

A． B．

C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值

【答案】ACD

【详解】因为，，成等比数列，所以，即，

整理得，因为，所以，

所以，则，故A正确、B错误；

当时单调递减，此时，

所以当或时取得最大值，即，故C正确；

当时单调递增，此时，

所以当或时取得最小值，即，故D正确；

故选：ACD

8．（2023春·北京·高二北师大二附中校考期中）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列为“6积特征列”，且，则当的前n项之积最大时，n的最大值为??（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【详解】是等比数列，；

因为是“6积特征列”，，即，，，；

因为是正数列，；

设数列的前n项之积为，则有，

，当指数最小时，最大；当时，最小，又，或时最大；

故选：C.

三、填空题

9．（2023·全国·校联考三模）若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式______.

【答案】（答案不唯一）

【详解】由，得，即，即，所以.

令，所以，所以可取（答案不唯一）

故答案为：（答案不唯一）.

10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______.

【答案】

【详解】由，得，由，得，

因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，

所以.

故答案为：

四、解答题

11．（2023·全国·高二专题练习）已知各项均不为零的数列的前n项的和为，且满足．求数列的通项公式；

【答案】

【详解】，，当时，，两式相减得：，

由得：，即，满足上式，

因此，于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，

，所以数列的通项公式是.

12．（2023春·高二课时练习）在等比数列中：

(1)若它的前三项分别为5，，45，求；

(2)若＝2，＝8，求.

【答案】(1)＝405

(2)＝

【详解】（1）因为，而＝5，q＝＝－3，所以＝405.

（2）因为，所以

所以q3＝4，而＝2，于是，

所以

B能力提升

1．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设公比为，，因为，所以，则，

因为，

所以，其中，，

当时，，且

所以，则

故选：D

2．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．

【答案】

【详解】由可得：，

所以是以为首项，公比为的等比数列，

所以其前k项和为，

故，即.

故答案为：

3．（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列是等差数列，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），故，故.

（2），

.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，求