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第16练等差、等比综合
【基础练】
1.(2023·全国·高三专题练习)记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
2.(2023·湖南永州·统考一模)已知数列满足:,且.
(1)若数列为等比数列,公比为,求的通项公式;
(2)若数列为等差数列,,求的前项和.
3.(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知公差大于0的等差数列满足,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
4.(2023春·辽宁·高三校联考期中)已知公差不为0的等差数列中,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列,前n项和为,且满足,,,,,等比数列中,,且,成等差数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记为区间中的整数个数,求数列的前n项和.
6.(2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测)已知数列的前n项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
7.(2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习)已知数列满足,且),且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
8.(2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测)已知等差数列满足,.数列的前n项和满足.
(1)求数列和的通项公式;
(2)对于集合A,B,定义集合且.设数列和中的所有项分别构成集合A,B,将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列的前50项和.
9.(2023秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末)已知数列满足,.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)写出的具体展开式,并求其值.
10.(2023·江苏·校联考模拟预测)设数列的前n项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
【提升练】
11.(2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)在①,;②,;③,三个条件中选择合适的一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知是等差数列的前项和,,数列是公比大于1的等比数列,且_____.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求使取得最大值时的值.
12.(2023·广东·高三专题练习)已知等比数列的前n项和为,其公比,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)等比数列的前n项和为,其公比,,求证:.
13.(2023·福建厦门·厦门一中校考二模)已知等差数列满足,且前四项和为28,数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式,并判断是否为等比数列;
(2)对于集合A,B,定义集合.若,设数列和中的所有项分别构成集合A,B,将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列的前30项和.
14.(2023·河南·校联考模拟预测)若数列满足,.
(1)证明:是等比数列;
(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值.
15.(2023春·上海·高二专题练习)记为公比不为1的等比数列的前项和,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,若由与的公共项从小到大组成数列,求数列的前项和.
16.(2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考期末)已知为数列的前n项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求前项的和.
17.(2023·全国·模拟预测)在数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测)已知等比数列的前项和为,且,,数列满足.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
【能力练】
19.(2023·天津·统考高考真题)已知是等差数列,.
(1)求的通项公式和.
(2)已知为等比数列,对于任意,若,则,
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)求的通项公式及其前项和.
20.(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,记数列的前项的乘积为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:.
21.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,,,.
(1)求;
(2)设,数列的前n项和为,若,都有成立,求实数的范围.
22.(2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模)已知等比数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式.
(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,在数列中是否存在3项,,,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.
23.(2023·江西吉安·江西省安福中学校考模拟预测)已知数列满足,.
(1)若.
①设,求证:数列是等比数列;
②若数列的前项和满足,求实数的最小值;
(2)若数列的奇数项与偶数
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