第07讲 抛物线(分层精练）（解析版）_1.docx

第07讲抛物线

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）抛物线的焦点坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由于抛物线的方程为，

所以，，则

所以抛物线的焦点坐标是，

故选：A.

2．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，

因为点在上，且到直线的距离为，

可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，

所以.

故选：B

3．（2023秋·高二单元测试）抛物线的准线方程是，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】抛物线化为标准方程，

所以准线方程是，

所以，

解得.

故选：B.

4．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（????）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】B

【详解】由题意可得，则．

故选：B.

5．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，

抛物线中时可得，且

则，取（如图）

??

，

,又对称性可知.

故选；C.

6．（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】抛物线即，其焦点坐标为，

设关于直线的对称点的坐标是，

则，解得，则，

故选：A．

7．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（????）

A．10 B．9 C．8 D．5

【答案】B

【详解】设，，

联立得，

则.

所以.

当且仅当，即，时，上式取等号，

故.

故选：B

8．（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，

直线的方程为，

联立，消得，

设，则，

所以，

圆的圆心坐标为，半径为1，

由已知可得，

所以

??

故选：A.

二、多选题

9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（????）

A．

B．

C．直线的斜率为

D．的面积为

【答案】ABD

【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；

??

由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得，

所以，故C不正确；

则的面积，故D正确.

故选：ABD.

10．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（????）

A． B．线段的长为定值

C．两点到的准线的距离之和为14 D．的最大值为49

【答案】CD

【详解】由抛物线的焦点为，

所以，则，A错误；

设，，

则由弦的中点到直线的距离为5，可得，

所以，当过点时，由抛物线的定义可得；

当时，，

所以的长不是定值，B错误；

两点到的准线的距离之和与相等，值为14，C正确；，当且仅当时等号成立，

故的最大值为49，D正确．

故选：CD．

三、填空题

11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）抛物线上的点到焦点的距离为.

【答案】3

【详解】由得抛物线的准线为，焦点为，

因为点在抛物线上，所以，得，

所以点到焦点的距离为，

故答案为：3

12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则.

【答案】

【详解】抛物线的准线为，

由题意，，

设，则，，

因为，所以，

所以，，

代入得，解得（负值舍），

所以.

故答案为：

四、解答题

13．（2023春·海南·高二统考学业考试）已知抛物线：的焦点坐标为．

(1)求的方程；

(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．

【答案】(1)

(2)7

【详解】（1）由抛物线的定义可得，所以，

所以抛物线的方程为．

（2）设，．

联立方程组得消去得，

由，得．

所以，．

所以，

解得或（舍去）．

故实数的值为7．

14．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.

(1)求曲线的方程；

(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，

即动点到点的