连续函数的运算闭连性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

§1.7内容回想1.无穷小的比较设?,?对同一自变量的变化过程为无穷小,且?是?的高阶无穷小?是?的低阶无穷小?是?的同阶无穷小?是?的等价无穷小?是?的k阶无穷小

惯用等价无穷小:?定理设且存在(或为∞),则(或为∞)

§1.8内容回想左持续右持续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限最少有一种不存在在点间断的类型在点连续的等价形式

拟定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.

P65题5提示:证明函数f(x)到处不持续.和无理点列而因此证:对任意实数x0,取有理点列{xn}且xn→x0.不存在,因此f(x)在x0处不持续.由x0的任意性得,函数f(x)到处不持续.而显然到处持续.

证明函数f(x)仅在x=0处持续.和无理点列而因此(2)对任意实数x0(≠0),取有理点列{xn}且xn→x0.不存在,(1)在x=0处.由于因此f(x)在x=0处持续.≠函数f(x)在非零点处,到处不持续.总之函数f(x)仅在x=0处持续.证:

一、持续函数的运算法则二、初等函数的持续性§1.9持续函数的运算与初等函数的持续性第一章

定理2.持续单调递增函数的反函数在其定义域内持续一、持续函数的运算法则定理1.在某点持续的有限个函数经有限次和,差,积,(运用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,成果仍是一种在该点持续的函数.例如,例如,在上持续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也持续单调递增.递增(递减)也持续单调

在上持续.证:先证明因此由得,(不妨设a1)记0a1时,令总之

在上持续.证:再证因此在上持续.由的任意性得,在上持续.

定理3.持续函数的复合函数是持续的.在上持续单调递增,其反函数在上也持续单调递增.证:设函数于是故复合函数又如,且即推论:设则(持续函数符号与极限符号可交换次序)

例如,是由持续函数链因此在上持续.复合而成,

例1.设均在上持续,证明函数也在上持续.证:根据持续函数运算法则,可知也在上持续.

二、初等函数的持续性基本初等函数在定义域内持续持续函数经四则运算仍持续持续函数的复合函数持续一切初等函数在定义的区间内持续P67例如,的持续区间为(端点为单侧持续)的持续区间为的定义域为因此它无持续点.而但不能说x=2nπ是函数的间断点.

例2.求解:原式例3.求解:令则原式

例4.求解:原式阐明:若则有“1∞”型惯用此法特别对于填空题－1+1若则

例4.解:因此,原式==6,若则(91考研)(93考研)(95考研)(03考研)P748(6)=令=因此原式=e0=1.

例5.设解:讨论复合函数的持续性.故此时持续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不持续,

内容小结基本初等函数在定义域内持续持续函数的四则运算的成果持续持续函数的反函数持续持续函数的复合函数持续初等函数在定义的区间内持续阐明:分段函数在界点处与否持续需讨论其左、右持续性.

思考与练习续?反例x为有理数x为无理数到处间断,到处持续.反之与否成立?作业P683(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.

一、最值定理二、介值定理§1.10闭区间上持续函数的性质第一章

注意:若函数在开区间上持续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上持续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,

例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

推论.由定理1可知有证:设上有界.二、介值定理定理2.(零点定理)最少有一点且使(证明略)在闭区间上持续的函数在该区间上有界.

定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,最少有一点使即推论:使最少有在闭区间上的持续函数必获得介于最小值与最大值之间的任何值.

例1.证明方程一种根.证:显然又故据零点定理,最少存在一点使即阐明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内最少有则则

内容小结在上达成最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在称为函数的零点定理或根的存在性定理.