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相交线及平行线学问点
1、邻补角及对顶角:两直线相交所成的四个角中存在两种不同关系的角,它们的概念和性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
1
2
∠1及∠2
有公共顶点
∠1的两边及∠2的两边
互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
4
3
∠3及∠4
有公共顶点
∠3及∠4有一条边公共,
另一边互为反向延长线。
邻补角互补
∠3+∠4=180°
留意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特别位置关系的两个角;
⑵假如∠α及∠β是对顶角,则一定有∠α=∠β;反之假如∠α=∠β,则∠α及∠β不一定是对顶角.
⑶假如∠α及∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之假如∠α+∠β=180°,则∠α及∠β不一定是邻补角.
=4\*GB2⑷两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
=5\*GB2⑸两线四角:经过一点画m条直线,共有m(m-1)对对顶角,共有2m(m-1)对邻补角。
2、垂线定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线相互垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。符号语言记作:如图所示:AB⊥CD,垂足为O.
垂直定义有以下两层含义:(1)∵∠AOC=90°(已知),∴AB⊥CD(垂直的定义).
(2)∵AB⊥CD(已知),∴∠AOC=90°(垂直的定义).
3、垂线性质:性质1:过一点有且只有一条直线及已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点及直线上各点的全部线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
4、垂线的画法:过直线外一点画已知直线的垂线:
以点P为圆心,随意长为半径,画弧,交直线于两点(如图),分别以这两点为圆心,大于两点间间隔的1/2长为半径,画弧,两弧交及一点.连接p及该点,并延长及直线相交即可.
5、垂线段的概念:由直线外一点向直线引垂线,这点及垂足间的线段叫做垂线段。
6、点到直线的间隔:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的间隔.
7、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间间隔”、“点到直线的间隔”这些相近又相异的概念:
⑴垂线及垂线段区分:垂线是一条直线,不行度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
⑵两点间间隔及点到直线的间隔区分:两点间的间隔是点及点之间,点到直线的间隔是点及直线之间。
⑶线段及间隔:间隔是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
8、平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线及直线相互平行,记作∥。
9、两条直线的位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。
10、平行公理:(平行线的存在性及唯一性):经过直线外一点,有且只有一条直线及这条直线平行.
11、平行公理的推论:假如两条直线都及第三条直线平行,则这两条直线也相互平行
如图所示,∵∥,∥∴∥
12、三线八角:两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角及同旁内角。
如图,直线被直线所截:
=1\*GB3①∠1及∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方,叫做同位角(位置一样)
②∠5及∠3在截线的两旁(交织),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交织)
③∠5及∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以从模型中看出。同位角是“F”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
13、两直线平行的断定方法:
=1\*GB3①两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,则这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行
=2\*GB3②两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,则这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行
=3\*GB3③两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,则这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵∠1=∠2∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
14、平行线的性质:两条直线被第三条直线所截,
性质1:两直线平行,同位角相等;几何符号语言:∵AB∥CD∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
性质2:两直线平行,内错角相等;∵AB∥CD∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
性质3:两直线平行,同旁内角互补。∵AB∥CD∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
15、平行线的性质及断定的区分和联络:平行线的性质及断定是互逆的关系:
两直线平行
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