重难点04一元二次不等式与二次函数专练（13种题型）（解析版）_1.docx

重难点04一元二次不等式与二次函数专练（13种题型）

【考点剖析】

一．元素与集合关系的判断（共1小题）

1．（2022秋?徐汇区校级月考）已知A＝，若1∈A，3?A，则实数a的取值范围为（﹣3，﹣1）．

【分析】根据元素与集合的关系建立不等式组，再解分式不等式组即可．

【解答】解：∵1∈A，3?A，

∴，∴，

∴﹣3＜a＜﹣1，

故答案为：（﹣3，﹣1）．

【点评】本题考查元素与集合的关系，分式不等式的解法，属基础题．

二．集合的包含关系判断及应用（共1小题）

2．（2022秋?黄浦区校级月考）设集合P＝{m|﹣2＜m＜0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣2＜0对任意的实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（）

A．P?Q B．Q?P C．P＝Q D．P∩Q＝?

【分析】分类讨论确定不等式mx2+2mx﹣2＜0对任意的实数x恒成立的条件，从而化简出Q＝{m|﹣2＜m≤0}，从而判断．

【解答】解：①当m＝0时，

mx2+2mx﹣2＜0可化为﹣2＜0，

显然恒成立；

②当m≠0时，

由mx2+2mx﹣2＜0对任意的实数x恒成立知，

，

解得﹣2＜m＜0，

综上所述，﹣2＜m≤0，

故Q＝{m|﹣2＜m≤0}，

故P?Q，

故选：A．

【点评】本题考查了恒成立问题及集合间关系的判断，应用了分类讨论的思想方法，属于中档题．

三．集合关系中的参数取值问题（共1小题）

3．（2021秋?宝山区校级期中）已知集合，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．

（1）若A?B，求实数a的取值范围；

（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

【分析】＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，结合间关系可解决此题．

【解答】解：＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，

（1）∵A?B，∴a∈[2，+∞）；

（2）∵A∪B＝A，∴B?A，∴a∈[1，2）．

【点评】本题考查一元二次不等式解法及集合间关系应用，考查数学运算能力，属于基础题．

四．交集及其运算（共1小题）

4．（2022秋?普陀区校级期中）设a∈R，集合A＝{x|x2﹣ax+a＜0，x∈R}．若A∩N为单元素集，则（）

A．实数a既有最大值，也有最小值

B．实数a有最大值，无最小值

C．实数a无最大值，有最小值

D．实数a既无最大值，也无最小值

【分析】由题意知方程x2﹣ax+a＝0有两个不同的实根，从而可得a＜0或a＞4；构造函数f（x）＝x2﹣ax+a，分a＜0与a＞4讨论根的分布即可．

【解答】解：由题意知，

A＝{x|x2﹣ax+a＜0，x∈R}≠?，

故方程x2﹣ax+a＝0有两个不同的实根，

则Δ＝a2﹣4a＞0，

解得a＜0或a＞4；

令f（x）＝x2﹣ax+a，

①当a＜0时，

f（x）在[，+∞）上单调递增，

又∵f（0）＝a＜0，

∴0∈A∩N，

又∵A∩N为单元素集，

∴1?A，

即f（1）＝1﹣a+a≥0，

上式显然成立，

故a＜0；

②当a＞4时，

∴f（2）＝4﹣2a+a＝4﹣a＜0，

∴2∈A∩N，

又∵A∩N为单元素集，

∴1?A，3?A，

即f（1）＝1﹣a+a≥0，f（3）＝9﹣3a+a≥0，

解得a≤；

故4＜a≤；

综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，]；

故实数a有最大值，无最小值；

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数与二次不等式间的关系的应用，同时考查了二次方程的根的分布问题及分类讨论的思想方法，属于中档题．

五．其他不等式的解法（共5小题）

5．（2022秋?浦东新区校级期中）已知全集为R，若不等式的解集为A，不等式的解集为B，则＝{1}．

【分析】观察不等式与不等式解集之间的关系，注意分母不为0．

【解答】解：不等式化为＞0，即＞0，解集A为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），

则可知不等式的解集为B＝[﹣2，1），

故＝[﹣2，1]，＝（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞），则＝{1}．

故答案为：{1}．

【点评】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．

6．（2022秋?浦东新区校级期中）不等式的解集为（0，1）．

【分析】将不等式右边的常数1移项到左边，然后通分，去分母化成一元二次不等式即可．

【解答】解：原不等式化为﹣1＞0，即＞0，

即等价于a（1﹣a）＞0，解集为（0，1）．

故答案为：（0，1）．

【点评】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．

7．（2021秋?黄浦区校级月考）幂函数，k∈R，p∈Z在（0，+∞）上是严格增函数．

（1）求幂函数y＝f（x）的表达式；

（2）求[f（x）]2﹣3f（x）+2≤0的解集．

【分析】（1）由题意可得，k＝1，﹣2p2+4p＞0，解得0＜p＜2，再结合p为