傅里叶变换及其性质.pptVIP

例2.6-1求图2.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。图2.6-1周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(jω)解周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为2.时移性若f(t)←→F(jω),且t0为实常数(可正可负),则有此性质可证明如下。例2.5-1求图2.5-1(a)所示信号的频谱函数。图2.5-1例2.5-1的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱解2.频移性频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t,从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t的信号。因为例2.5-2求高频脉冲信号f(t)(图2.5-2(a))的频谱。图2.5-2高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)频谱解图2.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cosω0t相乘,即4.尺度变换当a0时:尺度变换性质表明,信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中,为了快速传输信号,对信号进行时域压缩,将以扩展频带为代价,故在实际应用中要权衡考虑。在尺度变换性质中,当a=-1时,有也称为时间倒置定理。5.对称性我们知道图2.5-4取样函数及其频谱6.时域卷积在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位,它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中,求某线性系统的零状态响应时,若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t),则有在频域分析中,若知道F(jω)=F［f(t)］,H(jω)=F［h(t)］,则据卷积性质可知7.频域卷积应用频移性质,可知8.时域微分例如,我们知道 ,利用时域微分性质显然有此性质表明,在时域中对信号f(t)求导数,对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换,即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲,这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。此性质还可推广到f(t)的n阶导数,即9.时域积分时域积分性质多用于F(0)=0的情况,而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。=0例2.5-4求图2.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解若直接按定义求图示信号的频谱,会遇到形如te-jωt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质,则很容易求解。将f(t)求导,得到图2.5-5(b)所示的波形f1(t),将f1(t)再求导,得到图2.5-5(c)所示的f2(t),显然有图2.5-5梯形信号及其求导的波形据时移性质有图2.5-6另一种梯形信号12.帕塞瓦尔定理设,则在周期信号码傅里叶级数计论中,我们曾得到周期信号的帕塞瓦尔定理,即一般来说,非周期信号不是功率信号,其平均功率为零,但其能量为有限量,因而是一个能量信号。非周期信号的总能量W为非周期信号的帕塞瓦尔定理表明,对非周期信号,在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于是的偶函数,因而（35-19）还可写为非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的,各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况,与频谱密度函数相似,引入个能量密度频谱函数,简称为能量谱。能量谱G（）为各频率点上单位频带中的信号能量,所以信号在整个频率范围的全部能量为与式（3。5-20）表2.2傅里叶变换的性质2.6周期信号的傅里叶变换设f(t)为周期信号,其周期为T,依据周期信号的傅里叶级数分析,可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即2.3.3周期信号的功率周期信号的能量是无限的,而其平均功率是有界的,因而周期信号是功率信号。为了方便,往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然,对于周期信号f(t),无论它