专题2.6 圆的方程【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题2.6圆的方程【七大题型】

【人教A版（2019）】

TOC\o1-3\h\u

【题型1求圆的标准方程】 1

【题型2求圆的一般方程】 3

【题型3二元二次方程表示圆的条件】 5

【题型4圆过定点问题】 6

【题型5点与圆的位置关系】 8

【题型6圆有关的轨迹问题】 10

【题型7与圆有关的对称问题】 11

【知识点1圆的方程】

1．圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2．圆的标准方程

(1)圆的标准方程：方程(r0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.

(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3．圆的一般方程

(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线

方程，求待定系数D，E，F.

【题型1求圆的标准方程】

【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（????）

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】设所求的圆的方程为x2+

【解答过程】解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A

故选：D.

【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1

A．x-22

C．x-12

【解题思路】求出圆心M坐标以及圆M的半径，即可得出圆M的标准方程.

【解答过程】由题意可知，圆心M的横坐标为0+42=2，纵坐标为2+42

圆M的半径为MP

因此，圆M的标准方程为x-

故选：A.

【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,-1，B-1,1，且圆心在直线x

A．x-12

C．x-32

【解题思路】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线x+y-

【解答过程】因为过点A1,-1与B

所以线段AB的中点坐标为0,0，kAB

所以线段AB的中垂线的斜率为k=1

所以线段AB的中垂线的方程为y=

又因为圆心在直线x+

所以x+y-

所以圆心为1,1，r

所以圆的方程为x-

故选：A.

【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.

【解答过程】设直径的两个端点分别A(

圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得a+02

∴半径r=

∴圆的方程是(x+2)

故选：A.

【题型2求圆的一般方程】

【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,-3)三点，则圆C

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】设圆的方程为x2+y

解方程组16+9+4D+3

【解答过程】设圆的方程为x2+y

把点O(0,0)，A(4,3)，

16+9+4D+3

解得D=-7，E=1，

所以圆的方程是x2

故选：D．

【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2-

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为x2+y

【解答过程】设所求圆的方程为x2+y2-2x

所以所求圆的方程为x2

故选：B.

【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.

【解答过程】设圆的一般方程为x2+y

因为圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线

所以2×-D2

所以圆C的方程为x2

故选：C.

【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,

A．x2+y

C．x2+y

【解题思路】设△ABC外接圆的方程为：x2+y2+Dx+

【解答过程】设△ABC外接圆的方程为：x

由题意可得：22+0

即△ABC的外接圆的方程为：x

故