专题02 计数原理（考点清单，14题型解读）（解析版）_1_1.docx

清单02计数原理

【考点题型一】两种计数原理综合

方法点拨：

1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；

2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

【例1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）

A．3种B．504种C．24种D．12种

【答案】C

【解析】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种.故选：C.

【变式1-1】（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（）

A．60B．48C．54D．64

【答案】B

【解析】因甲不选景点，应该分步完成：

第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法；

第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法.

由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种.故选：B.

【变式1-2】（23-24高二下·重庆·月考）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（）种.

A．81B．64C．24D．4

【答案】A

【解析】每封信可以投个不同的信箱中的其中一个，

由分步乘法计数原理可得，不同的投法种数为种.故选：A

【变式1-3】（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）

A．种B．种C．种D．种

【答案】A

【解析】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.故选：A

【考点题型二】排列数与组合数计算

方法点拨：

1、排列数公式：

2、组合数公式：（，且）

【例2】（23-24高二上·河南·月考）（多选）下列等式正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】，故A正确；

由上述可知，因此，故B错误；

，故C正确；

由上述可知，故D错误.故选:AC.

【变式2-1】（2024·江苏·模拟预测）若，为正整数且，则（）

A．B．C．D．

【答案】AD

【解析】对A：由组合数性质：可知，A正确；

对B：，故B错误；

对C：，

，故，C错误；

对D：

，故D正确.故选：AD.

【变式2-2】（23-24高二上·陕西渭南·月考）（多选）排列数恒等于（）

A．B．C．D．

【答案】BD

【解析】，

，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确；故选：BD

【变式2-3】（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：．

（2）己知，求x．

【答案】（1）；（2）或

【解析】（1）因为

（2）由，得到或，解得或，

经验证，符合题意，所以或.

【考点题型三】排列组合之排数问题

方法点拨：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要体现在某元素不排在某个位子上忙活某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论。

注意，排数问题的首位不能为0！

【例3】（22-23高二下·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（）

A．个B．个C．个D．个

【答案】D

【解析】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择，

根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数，故选：D

【变式3-1】（22-23高二下·广东广州·期末）从中任取3个数字，从中任取2个数字，则一共可以组成五位数（没有重复数字）的个数是（）

A．720B．1200C．1440D．1728

【答案】C

【解析】从中任取3个数字有种方法，

从中任取2个数字有种方法，

再把取出的5个数全排列共有

故一