专题1-4已知正弦、余弦或正切的值求角（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵）解析版_1_1.docx

专题1-4已知正弦、余弦或正切的值求角（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵）

如果是锐角，且满足，那么.如果不限定是锐角，那么由诱导公式可知，也满足.再由诱导公式（）可知，或（）都满足.那么，是否还有其他的角满足呢？下面我们就来研究这个问题.

为此目的，设是一个任意给定的角，我们希望确定所有满足的角.设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为，过点作轴的垂线，如图（1）所示.由正弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上.

当（）时，此直线交单位圆于两点和.由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足的角的全体为或，，可简记为，.

当（）时，过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于，此时满足角的全体为，，这个集合也可以用上面所示的形式来表示.事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在（）时，

（），

此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致.

这样，我们就得到：

若，则或，，即，.

同理，如图（2），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由余弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上，从而满足的角的全体为，.这样，我们就得到：

若，则，.

如图（3），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由正切的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上，从而满足的角的全体为，.这样，我们就得到：

若，则，.

题型一：已知正弦值求角

1．（2024下·上海·高一假期作业）已知.

（1）当时，求x的取值集合；

（2）当时，求x的取值集合；

（3）当时，求x的取值集合.

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【分析】（1）利用正弦函数的定义与性质，结合，即可得出答案；

（2）利用正弦函数的定义与性质，结合，即可得出答案；

（3）利用正弦函数的定义与性质，结合，即可得出答案；

【详解】（1）因为在上是增函数，且，所以.所以x的取值集合为.

（2）因为，所以x为第一、二象限的角，且

所以在上符合条件的角有或.所以x的取值集合为.

（3）当时，x的取值集合为或.（或

2．（2021下·高一课时练习）求方程的解集：．

【答案】或．

【分析】利用特殊三角函数值，解三角方程，求得的值．

【详解】由，可得，

，或，

即，或??，，

故方程的解集为，或，．

3.如果已知，求：满足条件的角的集合；

【答案】（1）或

【解析】（1）方法1、在单位圆中，由可知，

角对应的正弦线方向朝上，而且长度为，作示意图，如图所示，

可知角的终边可能是，也可能是，

又因为，所以或

所以，满足条件的角的集合为：或

方法2、由，根据“若，则解集为：”

则满足条件的角的集合为：；

4.（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；

（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；

【答案】（1）

【解析】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，

作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为

，所以或

再由图可知，如果的终边在中，则一定有，

因此，满足条件的角的取值范围

（2）画出单位圆中三角函数线，如图．

由图可知角的范围是：

或；

题型二：已知余弦值求角

1．方程的解集为．

【答案】或

【分析】根据余弦函数的性质计算可得；

【详解】解：因为

所以或，，

解得或，，

故原方程的解集为或，，

故答案为：或，

2．（2023·上海·高一专题练习）已知．

(1)当时，求；

(2)当时，求的取值集合．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）直接根据角的范围写出角；

（2）根据特殊角的三角函数值写出时角的集合.

【详解】（1），，

，

即；

（2），，

即或.

3.已知，求：满足条件的角的集合；

【解析】不妨将“”看作整体，代入“若，则解集为：”

则得，解得或，

所以，满足条件的角的集合为：或；

题型三：已知正切值求角

1．方程的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用正切的倍角公式，化简方程为，求得，结合正切函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，方程，因为，所以，

可得，即，即，

解得，所以，

所以方程的解集是.

故选：B.

2．方程的解集是.

【答案】

【解析】利用，化简得，进而可得，，据此即可求解.

【详解】由，得

，因此，

，，

，，又由得，

或或或，

故答案为：

【点睛】本题考查三角方程的求解，属于基础题.

3．方程的解集是.

【答案】

【解析】利用正切函数的性质求解即可.

【详解】

解得

即

故答案为：

【点睛】本题主要考查了解三角函数方程，属于中档题.

4.（1）已知，求：满足条件的角的集合；

（2）已知，求：在区间内满足条件的角的集