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专题1-1任意角及其度量(考点清单,7种题型典例剖析+考点练兵)
知识点1.角的概念的推广
在小学和初中我们已经知道,角是具有公共端点的两条射线所组成的图形;
高中,在集合视角下,角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点
从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的图形;
知识点2.角的分类
正角,负角,零角;
一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角;其度量值是正的;
按顺时针方向旋转所形成的角为正角;其度量值是负的;
特别地,当一条射线没有旋转时(终边与始边重合),我们也认为形成了一个角,称为零角;零角的终边与始边重合;
知识点3.终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z},或S={β|β=2kπ+α,k∈Z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和;
【注意】对终边相同的角的理解:
(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏;
(2)k·360°与α中间用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α);
(3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.终边不同,则表示的角一定不同;
知识点4.象限角
为了便于研究角与其相关的问题,可将角置于平面直角坐标系中;使得角的顶点与坐标原点重合,角的始边在轴的正半轴重合;此时,终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角;
【注意】(1)象限角的条件是:角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z;
(3)象限角
知识点5.角度制
在平面几何中,周角的360分之一作为1度;用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制;
知识点6.弧度制
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制;
角α的弧度数公式
|α|=eq\f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°=eq\f(π,180)rad;1rad=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°
知识点7.扇形的弧长、扇形的面积公式
设扇形所在圆的半径为,圆心角为,所对弧长为,对应面积为,
弧长公式
弧长l=|α|r
扇形面积公式
S=eq\f(1,2)lr=eq\f(1,2)|α|r2
题型一:任意角的概念
1.(2023春?嘉定区校级期中)对于诱导公式中的角,下列说法正确的是
A.一定是锐角 B.
C.一定是正角 D.是使公式有意义的任意角
2.(2023春?静安区期末)在平面直角坐标系中,以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角;
②第二象限的角一定是钝角;
③终边重合的角一定相等;
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
题型二:象限角的判定
3.(2023春?黄浦区校级期中)已知是第一象限角,那么
A.是第一、二象限角 B.第一、三象限角
C.第三、四象限角 D.第二、四象限角
4.(2023春?浦东新区期末)下列命题中正确的是
A.终边重合的两个角相等 B.锐角是第一象限的角
C.第二象限的角是钝角 D.小于的角都是锐角
5.(2023春?嘉定区校级期中)若是第一象限角,则下列各角是第三象限角的是
A. B. C. D.
6.(2023春?松江区期中)角是第象限角.
7.(2023春?金山区校级月考)已知是第二象限角,则终边在第象限.
题型三:角的集合的表示
8.(2023春?长宁区期末)与终边相同的角是
A. B. C. D.
9.(2023春?嘉定区校级期中)下列各角中与角终边相同的角为
A. B. C. D.
10.(2023春?青浦区校级月考)终边在轴上的角的集合.
11.(2023春?闵行区校级期中)与终边相同的最小正角是.
12.(2023春?长宁区校级期中)的终边在第象限.
13.(2023春?浦东新区期中)且角与终边相同,则角等于度.
14.若角的终边与的终边相同,则在,内终边与角的终边相同的是.
15.(2023春?青浦区校级期中)已知,若与的终边相同,且,则.
题型四:任意角的综合应用
16.(2021下·高一课时练习)写出在之间与的角终边相同的角.
17.(2021下·上海·高一专题练习)若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?
18.(2021·上海·高一专题练习)在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限
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