专题1.4 空间向量的应用（4类必考点）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题1.4空间向量的应用

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【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 1

【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 5

【考点3：空间中的距离】 12

【考点4：空间中的角】 18

【考点1：空间中直线、平面的平行关系】

【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】

①设分别是直线与的方向向量，则，使得.

②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则.

③设分别是直线与的法向量，则，使得.

1．（2023·高二课时练习）若平面α∥β，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（

A．n1=

B．n1=

C．n1=

D．n1=

【答案】D

【分析】平面α∥β

【详解】因为平面α∥β，所以两个平面的法向量应该平行，即存在λ∈R，n

故选：D.

2．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l的方向向量为a=-1,1,1，平面α的法向量为b=2,x2

A．-2 B．±2 C．2 D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，可得a⊥b

【详解】因为l//α，则a⊥b，而

因此a?b=-2+(

故选：D

3．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足CP=λCD+

A．1 B．2 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出λ,μ

【详解】在正方体ABCD-

??

则C(0,0,0),B(

C1A=(

即有C1A⊥BD,

CD=(0,2,0),CC

于是B1P=CP-CB

即B1P?C1

因此|B1P

所以B1P的最小值为

故选：C

4．（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知平面α的法向量a=1,-2,m，直线l的方向向量n=3,1,-2，若

【答案】12

【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解.

【详解】∵l//α．则n?a=0

答案：1

5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且PO⊥底面ABCD，AB=BC=12AD=1，

【答案】证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系，求出CE的方向向量和平面PAB的法向量即可证明.

【详解】因为在底面ABCD内，∠BAD=∠ABC

连接OC，因为O为AD的中点，BC=12

所以四边形ABCO是平行四边形，所以OC//

又因为∠BAD=π

因为PO⊥底面ABCD，OC,AD?底面

所以以O为原点，分别以OC,OD,

因为侧面PAD为等边三角形，AB=

所以A0,-1,0，B1,-1,0，C1,0,0，P

因为E是PD的中点，所以E0,

所以CE=-1,12

设平面PAB的法向量为n=

AB·n=x=0

因为CE·n=0-

又因为CE?平面PAB，所以CE//平面

6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱ABCD-A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为

??

【答案】证明见解析

【分析】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证DE//F

【详解】以A为原点，AB，AD，AA

??

则B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，B1(1,0,4)，D1(0

∵DE=FB1=(0,-1,2)

∵DE?平面B1D1F，FB

∵BD?平面B1D1F，B1

又DE∩BD

∴平面BDE与平面B1

【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】

【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】

①设分别是直线与的方向向量，则.

②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得.

③设分别是直线与的法向量，则.

1．（2023·高二课时练习）已知直线l1的方向向量是a=2,-2,x，直线l2的方向向量是b=2,y,-2

A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0

【答案】A

【分析】利用模的计算公式和向量垂直的坐标表示可得关于变量的方程组，求出其解后可得x-y

【详解】由题设可得4-2y-2x=0

故x-y=0

故选：A.

2．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l的方向向量e=1,-1,-2，平面α的法向量n=-12,

A．-52 B．-12 C．

【答案】C

【分析】根据空间向量平行的坐标关系即得.

【详解】由题可得e//n，所以可设

所以-1

所以λ=

故选：C.

3．（2023·高二课时练习）设u=-2,2,t，v=6,-4,4分别是平面α,β的法向量

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据u?v

【详解】∵α⊥β，∴u?v

故选：C

4．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,