恒成立与能成立问题+课件-2025届高三数学一轮复习.pptxVIP

第四单元高考专攻一恒成立与能成立问题2025届1

用导数解决不等式“恒成立”、“有解”或“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题．

01课堂突破

01课堂突破特训点1特训点2特训点3

典例1已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx．若f(x)≥(a2－a)lnx对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．特训点1分离参数法【师生共研类】

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?(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，这要比分类讨论法简便很多．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

?…………………练能力学方法

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?特训点2分类讨论法【师生共研类】

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?根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题的关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可．

设函数f(x)＝(1－x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．解：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，当x≥0时，h′(x)＜0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，…………………练能力学方法

故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0上恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

?特训点3拆解法【师生共研类】

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?常见的双变量不等式恒成立问题的类型及拆解技巧(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)max；(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min；(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)min；

(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max；(5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)min；(6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max；(7)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x)的值域?g(x)的值域．

?…………………练能力学方法(2)若?x1，x2∈[0，4]，不等式|f(x1)－f(x2)|＜1恒成立，求实数a的取值范围．

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