4.5函数的应用（二）12题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

4.5函数的应用（二）12题型分类

1、函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点

的横坐标.

2、方程的解与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.

3、函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，

函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是

方程f(x)＝0的解．

(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图

1

象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－

x

1

1)f(1)＝－1×10，但显然y＝在(－1,1)内没有零点．

x

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，

则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个

实数解c.

(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，

虽然都有f(a)f(b)0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅

有1个零点．

(4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在

零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)0.如图③，虽然

在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)0.

(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那

么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c(a，b)，使得f(c)＝0，这个c

也就是方程f(x)＝0的实数解．

4、二分法的概念

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所

在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分

法．

5、用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.

(2)求区间(a，b)的中点c.

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)＜0(此时x0(a，c))，则令b＝c；

③若f(c)f(b)＜0(此时x0(c，b))，则令a＝c.

(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～

(4)．

注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，

函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如

2

求函数f(x)＝(x－1)的零点近似值就不能用二分法．

（2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函